有源濾波器中的相位響應——低通和高通響應

　　圖4(左軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對該等式(= √2 = 1.414)進行了評估。此處，中心頻率為1，相移為-90°。

　　圖4.雙極點低通濾波器(左軸)和高通濾波器(右軸)在中心頻率為1時的相位響應。

　　在等式3中，(濾波器的阻尼比)為Q的倒數(即Q=1/α)。它決定著幅度(和瞬態)響應的幅度峰值以及相變的銳度。α為1.414時，表示雙極點巴特沃茲(最平坦)響應。

　　雙極點高通濾波器的相位響應可通過下式計算其近似值：

　　圖4(右軸)對該式進行了評估，其中，=1.414，范圍為中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程。中心頻率(= 1)的相移為90°。

　　圖2和圖4采用的是單曲線，因為高通和低通相位響應類似，僅相移180°(π弧度)。這等于改變相位的符號，使低通濾波器的輸出滯后，并使高通濾波器領先。

　　順便提一下，實踐中，高通濾波器實際上是寬帶通帶濾波器，因為放大器的響應會引入至少一個低通極點。

　　圖5所示為一個雙極點低通濾波器的相位響應和增益響應，表示為Q的函數。傳遞函數表明，相位變化可能分布在較寬的頻率范圍中，并且變化范圍與電路Q成反比。雖然本文主要討論相位響應，但是，相位變化率與幅度變化率之間的關系也是值得考慮的。

　　注意，每個雙極點段都會提供一個最大180°的相移，并且在極端情況下，–180°的相移(雖然滯后360°)與180°的相移具有相同的屬性。為此，多級濾波器往往在有限范圍內繪制其曲線圖，比如180°至–180°，以提高圖形的讀取精度(見圖11和圖13)。在這種情況下，我們必須認識到，圖中繪制的角度實際上為真實角度±m×360°。盡管在這種情況下，圖的頂部和底部(曲線圖相移±180°)似乎存在不連續問題，但實際相位角度的變化是非常平滑的，并且呈單調性。

　　圖5.雙極點低通

　　濾波器段的相位和幅度響應(為Q的函數)。

　　圖6所示為雙極點高通濾波器在不同Q下的增益和相位響應。傳遞函數表明，180°的相變可能發生在較大的頻率范圍內，并且變化范圍與電路的Q成反比。另外要注意的是，曲線的形狀是十分相似的。具體地，相位響應具有相同的形狀，只是范圍有所不同。

　　圖6.雙極點高通

　　濾波器段的相位和幅度響應(為Q的函數)。

　　放大器傳遞函數

　　放大器的開環傳遞函數基本上就是單極點濾波器的開環傳遞函數。如果是反相放大器，實際上是插入180°的額外相移。放大器的閉環相移一般忽略不計，但是，如果帶寬不足，就可能影響復合濾波器的總傳遞函數。本文隨機選擇了AD822以便對濾波器進行仿真。本文展示了對復合濾波器傳遞函數的部分影響，但只是在較高頻率下的影響，因為維持其增益和相移的頻率比濾波器本身的角頻要高得多。AD822的開環傳遞函數(摘自數據手冊)如圖7所示。

　　圖7.AD822波特圖增益和相位。

　　示例1：1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器

　　作為例子，我們將考察一款1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器。做出該隨機選擇的幾個原因：

　　1) 與巴特沃茲情況不同，各段的中心頻率都不相同。這樣，圖中的軌跡分布會更廣些，圖也就有趣些。

　　2) Q一般都略高。

　　3) 奇數個極點突出了單極點段和雙極點段之間的差異。

　　濾波器段是用ADI網站上的濾波器設計向導設計的。

　　各段的F0和Q為：

　　F01 = 615.8Hz F02=960.8Hz F03=342Hz

　　Q1=1.178 Q2=4.545