有源濾波器中的相位響應——低通和高通響應

　　本文旨在考察濾波器傳遞函數本身的相位偏移。雖然濾波器主要是針對幅度響應而設計的，但在延時仿真、級聯濾波器級，特別是過程控制環路等應用中，相位響應可能非常重要。

　　本文將集中探討低通和高通響應。我們先來回顧一下，有源濾波器的傳遞函數可以視為濾波器傳遞函數和放大器傳遞函數的級聯響應(圖1)。

　　圖1.作為兩個傳遞函數級聯的濾波器

　　首先，我們將重新考察一下傳遞等式的相位響應。

　　對于單極點低通情況，傳遞函數的相移為：

　　在等式中，?表示弧度頻率(=2πf弧度/秒;1 Hz=2π弧度/秒)，表示濾波器上的弧度中心頻率。中心頻率也可稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率指相移處于其范圍50%時的頻率。由于弧度頻率當作一個比率使用，因此，頻率比(f/fo)可以方便地替代。

　　圖2(左軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對等式1進行了評估。由于單極點低通 的相移范圍為90°(0°至90°)，因此，中心頻率的相移為–45°。當時，歸一化中心頻率為1。

　　圖2.單極點低通濾波器(左軸)和高通濾波器(右軸)在中心頻率為1時的相位響應。

　　類似地，單極點高通濾波器的相位響應計算公式為：

　　圖2(右軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對等式2進行了評估。中心頻率(= 1)的相移為+45°。

　　如果低通 通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，注意，最低相移(0°至45°)處于通帶中。相反，最高相移(45°至90°)出現在阻帶中(高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率)。

　　在低通情況下，濾波器的輸出落后于輸入(負相移);在高通情況下，輸出先于輸入(正相移)。圖3展示的是下列波形：輸入正弦波信號(中部軌跡)、1 kHz截止單極點高通濾波器輸出(頂部軌跡)和1 kHz截止單極點低通濾波器輸出(底部軌跡)。信號頻率也為1 kHz——兩個濾波器的截止頻率。45°的波形超前和滯后情況顯而易見。

　　圖3.單極點高通濾波器(頂部軌跡)和低通濾波器(底部軌跡)的輸入(中部軌跡)和輸出。

　　對于二階低通情況，傳輸函數的相移近似值為：