用頻率采樣法設計FIR濾波器

　　有限長脈沖響應(FIR)數字濾波器由于設計靈活，濾波效果好以及過渡帶寬易控制，因此在數字信號處理領域得到了廣泛的應用。FIR數字濾波器的典型設計方法主要有窗函數法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學習FIR數字濾波器的一個重要環節。用窗函數法進行FIR濾波器設計的相關問題，目前的教材講解較為細致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR數字濾波器的相關問題，主要包括設計原理、性能分析、線性相位條件及設計中應注意的問題等幾個方面。

　　1 設計原理及濾波器性能分析

　　頻率采樣法是從頻域出發，對給定的理想濾波器的頻響

進行N點等間隔采樣，即

，然后以此Hd(k)作為實際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令：

　　由DFT定義，可以用這N個頻域的采樣值H(k)來惟一確定FIR的單位脈沖響應h(n)，即：

　　下面對設計出的濾波器頻率響應特性進行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道，利用這N個頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應

，這個

將逼近理想濾波器的頻響

。

的內插公式為：

　　從式(5)可以看到，在各頻率采樣點上，設計的濾波器，實際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數值相等，即

。但是在采樣點之間的頻率響應是由各采樣點的加權內插函數疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內插值越接近理想值，逼近誤差越小;反之，如果采樣點之間的理想頻響特性變化越陡，則內插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續點的兩邊，就會產生尖峰，而在通帶和阻帶就會產生波紋。用頻率采樣法設計的實際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知，實際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設計的濾波器的阻帶性能。

　　2 線性相位條件

　　FIR濾波器的最大優點是嚴格的線性相位特性。下面討論為實現線性相位，在頻域內采樣得到的Hd(k)應滿足什么條件。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)

是實序列，且滿足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關于對稱，其中N為濾波器的長度。以第一類線性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱)為基礎來推導頻域采樣Hd(k)滿足的條件。

　　理想濾波器的頻率響應可以表示為：

　　為實現第一類線性相位條件，相位函數θ(ω)和幅度函數Hg(ω)應分別滿足：

　　式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿足第一類線性相位的條件。關于第二類線性相位的條件這里就不再推導，具體公式可參閱相關的教科書。

　　3 設計實例及性能分析

　　現以低通濾波器為例，說明用頻率采樣法設計FIR線性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問題。要求截止頻率ωc=0.2π rad/s，采樣點數為N=20。設計步驟如下：

　　第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應

　　第二步：在頻域內對

進行N點等間隔采樣，利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π/N=O.1 π，這樣在通帶內共有3個采樣點，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設計式(10)和式(11)，可以得到：

　　第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設計的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)：