自動控制系統的設計--基于根軌跡的串聯校正設計

校正后系統的開環傳遞函數為

相應的靜態速度誤差系數為： 。

比較未校正系統和校正后系統的根軌跡可見，校正后系統的 從0.8減到０.7，這意味著調整時間略有增加。如果對此不滿意，則可重新選擇希望閉環主導極點的位置，且使其 值略高于0.8。

6.4.3 遲后—超前校正
由上兩節的討論可知，超前校正主要用于提高系統的穩定裕度，改善系統的動態性能，而遲后校正則可以減少系統的穩態誤差。由此設想，若把這兩種校正結合起來應用，必然會同時改善系統的動態和靜態性能，這就是遲后—超前校正的基本思路。

當希望的閉環主導極點Sd位于未校正系統根軌跡的左方時，如只用單個超前網絡對系統進行校正，雖然也能使校正后系統的根軌跡通過Sd點，但無法使系統在該點具有較大的開環增益，以滿足靜態性能的需要。對于這種情況，一般宜采用遲后—超前校正。

設遲后—超前校正裝置的傳遞函數為

其中Gc1(s)起遲后校正作用，它使系統在Sd處的開環增益有較大幅度的增大，以滿足靜態性能的需要；Gc2(s)起超前校正作用，利用它所產生的相位超前角φc2使根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環主導極點Sd，從而改善系統的動態性能。

用根軌跡法進行遲后—超前校正的一般步驟為：

1）根據對系統性能指標的要求，確定希望閉環主導極點Sd的位置。

2）設計校正裝置的超前部分Gc2(s)。設計時要兼顧到既使Gc2(s)在Sd處產生的相位超前角φc2滿足Sd點的相角條件，又使Gc2(s)極點與零點的比值β足夠大，以滿足遲后部分使系統在Sd點的開環增益有較大幅度增大的需要。

3）根據所確定的β值，按遲后校正的設計方法去設計Gc1(s)。

4）畫出校正后系統的根軌跡。由根軌跡的幅值條件，計算系統工作在Sd處的靜態誤差系數。如果所求的值小于給定值，則需增大β值，應從步驟2）開始重新設計。

下面以實例說明這種校正的具體步驟。

例6—9　校正前該系統的開環傳遞函數為

要求校正后具有下列的性能指標：阻尼比 ；無阻尼自然頻率 ；靜態速度誤差系數 。試設計一遲后—超前校正裝置。

解（1）根據給定的性能指標，求出希望的閉環主導極點為

（2）設計校正裝置。超前部分 在 處應提供的超前角

令 的零點 ，以抵消原系統的一個開環極點。這樣設計不僅使校正后系統的階數降低，繪制根軌跡方便，而且一般易于實現希望閉環極點的主導作用。在圖6-24所示的s平面上，以 點為頂點，點 與-1點的連線為邊，向左作角 ，該角的另一邊與負實軸的交點 ，這就是所求超前部分的極點。由此可見， ， 。

（3）經過超前部分校正后，系統的傳遞函數為

據此，作出相應的根軌跡，如圖6-24中的實線所示。根據根軌跡的幅值條件，求得系統工作在 點時的增益 ，對應的靜態速度誤差系數為

顯然， 不能滿足給定指標的要求，所要增大的倍數 應由遲后部分 來提供。由此可見，上述確定的β=4能滿足將靜態速度誤差系數提高3.35倍的要求。

（4）設計校正裝置的遲后部分 。

由點 向左作一條與線段 成 角的直線，此直線與負實軸交于 ，這就是所求 的零點，它的極點 。于是求得遲后部分的傳遞數為