自動控制系統的設計--基于根軌跡的串聯校正設計

（3）根據公式（6－34）確定夾角 γ：

得到：

（4）由設計要求， ， ， ，求出校正裝置的參數。

，

，

得到： ， 。因而超前校正裝置的傳遞函數：

（5）校正后閉環系統的傳遞函數和主導極點分別為：

G=G0*Gc

Transfer function:

576.8 s + 1921

------------------------------

s^4 + 34 s^3 + 256 s^2 + 384 s

Gl=feedback(G0＊Gc,1)

zpk(Gl)

Zero/pole/gain:

576.8 (s+3.33)

------------------------------------------

(s+25.25) (s+4.745) (s^2 + 4.006s + 16.03)

顯然，系統靜態誤差系數為： ，主導極點為： ，設計基本符合要求。

6.4.2 遲后校正
通過設置校正裝置的零極點，使之形成一對在S平面上靠近原點的偶極子，這樣，在基本保持原系統主導極點的前提下，可提高系統的靜態誤差系數而不致使系統的動態性能變壞。

例如，對于一單位反饋系統，若其開環傳遞函數：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態速度誤差系數Kv=K/ab ，因為系統主導極點為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯遲后校正裝置后，開環傳遞函數：

若要求主導極點基本不變，則

(6-35)

由于設計時選取的-1/τ和-1/βτ均靠近原點，因此

,

但此時

可見校正后靜態誤差系數增大了約β倍，而主導極點可基本保持不變。

由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：

（１）畫出未校正開環系統的根軌跡；

（２）根據系統設計的時域指標，確定主導極點Sd，進而計算未校正系統的增益Ｋ及靜態誤差系數Kv ；

（３）將要求的靜態誤差系統與未校正系統的靜態誤差系數進行比較；得出遲后校正裝置的β值；

（４）確定校正裝置的零點和極點。零點的確定方法是：以主導極點Sd為頂點，引線為起起始邊，向左旋轉5°-10° ，此邊與負實軸的交點即為校正裝置的零點-1/τ ，由（３）中β值進而確定校正裝置極點-1/βτ。

（５）畫出校正后系統的根軌跡。若新的主導極點Sd1或靜態誤差系數與設計要求相關較大，則宜適當調整β或-1/υ ，直至滿足要求。

需要說明的是，上述推導過程中按Kv 進行說明，但對于Kp或Ka結論相似。

例6－8 已知一單位反饋控制系統的開環傳遞函數為

要求校正后的系統能滿足下列的性能指標：阻尼比ξ=0.5 ；調整時間ts=10s；靜態速度誤差系數Kv≥5/s。解：（１）繪制未校正系統的根軌跡如圖６—23中的虛線所示。

（２）根據給定的性能指標，確定系統的無阻尼自然頻率為

據此，求得希望的閉環主導極點

（３）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統在 處的增益，即根據 ，求得 ,,相應的靜態速度誤差系數為

（４）基于校正后的系統要求，據此算出遲后校正裝置的參數β值，即

考慮到遲后校正裝置在 點處產生遲后角的影響，所選取的β值應大于７.5，現取β＝１０。

（５）由點 作一條與線段Ｏ 成 角的直線，此直線與負實軸的交點就是校正裝置的零點，由圖６—23 可知，零點 ，極點為 。這樣，校正裝置的傳遞函數

校正后系統的開環傳遞函數

校正后系統的根軌跡如圖６—23中的實線所示。由該圖可見，若要使 ，則校正后系統主導極點的位置略偏離要求值，即由 點移到