自動控制系統的設計--基于根軌跡的串聯校正設計

而對于△PcOSd有：

(6-31)

由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得：

(6-32)

根據三角函數性質，上式可寫成如下形式：

(6-33)

進而有：

(6-34)

由于k可由穩態誤差系數確定，u由未校正傳遞函數求出，因此根據上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）確定校正裝置的零極點和具體參數。

通過上述分析可知，對于超前校正裝置的參數確定，可用三種方法進行設計，其中第一法是工程經驗方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發進行設計，第三法則先在滿足靜態性能指標的條件下設計滿足動態性能指標的控制器。但必須指出，上述三法均用于對靜態性能要求不高而系統的動態性能需要改善的控制系統，校正后的系統應滿足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統的靜態性能指標較高，可能無法設計合適的超前校正裝置，此時應采用遲后－超前校正裝置。

（三）根軌跡超前校正的步驟
綜上所述，用根據軌跡法進行超前校正的一般步驟為：

１）根據對系統靜態性能指標和動態性能指標的要求，分析確定希望的開環增益k閉環主導極點Sd的位置．

２）畫出校正前系統的根軌跡，判斷希望的主導極點位于原系統的根軌跡左側，以確定是否應加超前校正裝置。

３）根據式（６—21）解出超前校正網絡在Sd點處應提供的相位超前角φ。

４）選擇前面介紹的三種方法之一，求γ，爾后用圖解法或根據式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零點和極點，進而求出校正裝置的參數。

５）畫出校正后系統的根軌跡，校核閉環主導極點是否符合設計要求。

６）若采用第一法和第二法，則還須根據根軌跡的幅值條件，確定校正后系統工作在 處的增益和靜態誤差系數。如果所求的靜態誤差系數與要求的值相差不大，則可通過適當調整Gc(s)零點和極點的位置來解決；如果所求的靜態誤差系數比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后—超前校正。

下面舉例分別介紹上述三法的使用，進而對根軌跡超前校正步驟進行說明。

例6－5 已知一單位反饋控制系統的開環傳遞函數為：

試設計一超前校正裝置，使校正后系統的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 。

解：（１）這是一個積分環節和慣性環節串聯的系統，系統的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 ，閉環極點為 以及靜態速度誤差系數 ，校正前系統的根軌跡如圖６—20虛線所示。

（２）由 和 ，求得希望的閉環極點為:

。

（３）計算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統的 在 處的相角為：

為了使校正后系統的概軌跡能通過希望的極點，超前校正裝置必須在該點產生的超前角。

（4）根據根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點和極點。因為 ， ，所以 。按照最大α值的設計方法，可計算或作圖求出 ， 。這一校正裝置的傳遞函數 。于是求得由校正網絡和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數，并得到校正后系統的開環傳遞函

數

式中，。由上式作出校正后系統的根軌跡，如圖6—20中的實線所示。

（5）確定系統工作在希望閉環極點處的增益和靜態速度誤差系數。由根軌跡的幅值條件

解得 。由于 ，因而 。系統對應的開環傳遞函數為

由上式求得校正后系統