哪些運動方程對工業機器人很重要？

運動學模型是機器人運動的數學表示，它側重于元件之間的幾何關系，而忽略了影響運動的外力。運動學模型用于規劃和控制工業機器人的路徑。 

正向運動學根據機器人手臂中每個關節的角度確定末端執行器的當前位置和方向。計算使用一系列變換矩陣，其中包含關節角度、長度和偏移參數。

變換矩陣從機器人基礎到末端執行器按順序相乘。結果是三維坐標中的位置和末端執行器的方向（以角度表示）。反向運動學反轉了該過程，根據末端執行器的位置確定所需的關節角度，如圖 1 所示。

圖 1.使用正向或反向運動學定義機器人關節位置。（圖片：MathWorks）)

Denavit-Hartenberg 公約

Denavit-Hartenberg （DH） 約定是表示機器人幾何和關節角度的標準化方法。它詳細介紹了如何將坐標系附加到機器人中的關節，從而定義相鄰關節之間的相對位置和方向。

如圖 2 所示，每個關節或鏈接由四個參數描述，包括鏈接長度 （a）、鏈接角度 （θ）、鏈接偏移 （d） 和鏈接扭曲 （α）。這四個參數用于計算每個關節的轉換矩陣。矩陣可以相乘以確定從機器人底座到末端執行器的整體變換。控制系統使用 DH 參數來計算所需的關節角度，以實現所需的末端執行器姿勢。

圖 2.DH 參數示例。（圖片：MDPI 傳感器)

雅可比矩陣

DH 約定可以與雅可比矩陣一起使用，以將聯合速度與末端執行器速度相關聯。關節速度可以描述旋轉關節的關節旋轉速度，以及棱柱關節關節的關節伸展或收縮的速度。

雅可比矩陣 （J） 是偏導數矩陣，用于描述關節速度和末端執行器速度之間的關系。在機器人控制系統中，J 用于將關節速度映射到末端執行器的速度。

換位 J 允許計算在末端執行器上產生所需力所需的關節扭矩。在運動規劃中，J 用于識別和避免機器人失去自由和精確移動能力的奇點。當 J 的行列式變為零時，就會出現奇點。

奇異

在奇點中，關節角度和末端執行器位置之間的數學關系會斷開，機器人會失去一個或多個自由度。當多個關節以阻止機器人向一個或多個方向移動的方式對齊時，就會出現奇點。這可能導致失控、不穩定或動作抽搐。通過仔細設計運動軌跡，可以避免奇點配置。

可作性

奇點是有限可縱性的一種形式。Manipulability （可作性） 衡量機器人根據當前關節配置更改末端執行器位置的程度。可縱性是使用 J 的奇異值分解來計算可縱性橢球體的。

可縱性橢球體直觀地表示機器人向不同方向移動的能力。體積較大的橢球體表示更高的可作性。橢球體軸的比率接近 1 表示在所有方向上的可縱性相等，稱為各向同性可縱性。較大的比率表明奇點正在逼近。

總結

運動方程用于確定從一個姿勢移動到另一個姿勢的最佳軌跡，并避免可能限制機器人運動的奇點等困難。DH 約定是表示機器人的幾何圖形和關節角度的標準化方法。雅可比矩陣提供了用于優化機器人運動的計算框架。