基于Toeplitz方程的改進廣義預測PID控制

引言

PID控制技術是目前應用最廣泛的控制技術，PID控制是一種應用歷史悠久、工業界比較熟悉的簡單控制算法。自1992年Hagglund提出預測PI控制器（Hagglund，1992）的思想以來，預測PID算法得到了逐步的發展和完善，并成功的應用在一些復雜對象的控制上。控制理論由于它產生的巨大經濟效益吸引了越來越多的關注，大量的先進控制算法應用在紛繁復雜的工業過程中，也縮小了理論和實踐之間的差距。

預測算法和PID結合在一起的控制器。PID控制器和過程的滯后時間無關，而預測控制主要依賴過程的滯后時間，根據以前的控制作用，來給出現在的控制作用。而這種PID控制算法將PID的簡單性、實用性、魯棒性和模型預測控制算法的預測功能有機的結合起來了。

本文運用Toeplitz方程求解G潘圖方程，減少了預測控制計算負擔，縮短了預測控制器在線優化時間，同時解決了系統時滯引起的控制問題，整定了PID控制參數，達到了預期的效果。

問題的提出

近幾十年來，控制理論由于它產生的巨大經濟效益吸引了越來越多的關注，大量的先進控制算法應用在紛繁復雜的工業過程中，也縮小了理論和實踐之間的差距。另一方面，傳統的PID控制器，由于其簡單穩定易操作的特性，仍然在控制市場占有相當大的使用份額。所以在現今全球競爭日益激烈的市場環境下，通過先進控制改進傳統的控制器，優化傳統的控制方法來獲取經濟效益提高企業競爭力，已成為一種趨勢。

但是復雜工業過程存在著難于建模、關聯復雜、對象結構與參數時變、干擾與環境不確定、要求與約束多樣性等特點，傳統的最優控制基于對象的精確數學模型，它在工業環境中并不適用，這已為工業過程的實踐所證實，基于優化的控制顯然優于單純調節。所以就帶來了問題：如何以合適的方式將優化結合到動態控制中，形成適應于復雜工業過程的優化控制模式，預測控制就滿足了這點要求。

本研究課題將廣義預測控制和經典PID控制方法相結合，用預測優化原理解決大時滯系統的控制難題。通過對Diophantine方程快速求解，避免了傳統GPC算法中遞推求解Diophantine方程的繁雜過程。

基于Toeplitz方法改進的GPC

2.1GPC的基本表達

首先，性能指標J函數表達如下:

（1）

其中,e(i)是對象輸出和參考平滑曲線之間的誤差，即。N是預測時域，M是控制時域。是控制加權常數。

可以把以上方程寫成向量形式：

（2）

其中，是預測輸出誤差向量，Y是未來輸出向量，是未來控制增益向量。

2.2介紹Toeplitz方程

給定一個單輸入單輸出被控對象傳遞函數模型：

（3）

其中，和是差分后移算子的多項式：

（4）（5）



引入增益模型:

（6）

其中,

引入卷積矩陣和漢克爾矩陣,



其中,

所以根據和的定義式可以將式改寫成：

（7）


同理，式子右邊也可以進行變換，最后得到：