基于魯棒H ∞ 控制器的磁懸浮系統控制設計

　　李亞琦，秦?斌，王?欣?(湖南工業大學?電氣與信息工程學院，湖南?株洲?412008)

　　摘?要：研究了磁懸浮小球系統的控制問題，為了解決傳統PID控制方法在磁懸浮小球控制過程中調節效果不理想，魯棒性較差，易受外界擾動而失去穩定的問題，采用了一種基于魯棒控制的方法來進行系統的控制，魯棒控制算法能解決磁懸浮系統在外界干擾的情況下使系統保持預期的性能要求。將傳統PID控制與現代H _∞ 魯棒控制進行仿真比較，通過仿真結果表明利用魯棒H ∞ 控制系統能夠提高磁懸浮系統的響應速度，降低系統超調量，較少外界干擾對系統的影響，更好地改善了磁懸浮系統的動態性能。

　　關鍵詞：魯棒H _∞ 控制器設計；磁懸浮小球； PID；動態性能

　　*文章部分由國家自然科學基金（61673166）和湖南省自然科學基金（2017JJ4022和2018JJ4070）資助。

　　0 引言

　　磁懸浮技術是一種先進的技術，現如今磁懸浮技術在迅猛的發展。近幾年來，磁懸浮列車在我國交通運輸中占據了重要地位，很多種磁懸浮列車模型被提出^[1] 。與其他技術相比，磁懸浮技術量具有損耗低，成本低的特點，發展這項技術符合我國的可持續發展戰略^[2] 。磁懸浮系統是一種典型的非線性，開環不穩定的系統。磁懸浮控制算法的研究已經引起了技術界的關注。為了更好地研究磁懸浮系統，通過實驗室磁懸浮小球裝置來進行研究。對于磁懸浮小球控制算法，傳統的有PID控制^[3] 、串級控制 ^[5] ，這些控制算法不能很好地滿足系統的動態性能的需求。而現代控制算法中，魯棒控制算法 ^[4] 在一定程度上能夠很好地滿足系統的需求。

　　1 磁懸浮小球的工作原理及數學模型的建立

　　1.1 磁懸浮小球的工作原理

　　磁懸浮系統的組成主要包括五大部分：電磁鐵、位置傳感器、功率放大器、控制器以及被懸浮對象。系統組成部分如圖1所示：

　　磁懸浮系統主要是利用的電磁鐵來實現被懸浮對象在平衡位置的懸浮，位移傳感器主要是獲得鋼球的位置信號，該信號作為控制器的輸入信號經過控制算法計算出相應的輸出控制信號，控制器輸出的控制信號經過功率放大器轉變成控制電流，從而使鋼球在電磁場中獲得磁力來保證小球處于平衡狀態。

　　1.2 磁懸浮系統的數學模型

　　磁懸浮系統 ^[9] 中的電磁力主要是通過電磁鐵采用電流勵磁方式，再配合磁懸浮小球的導磁特性，在空間構成磁力線回路而產生的。

　　磁懸浮系統的電磁鐵磁路如圖2所示。

　　分析磁路，列出物理表達式：

　　其中

　　根據安培環路定理可得：

　　其中，N為線圈匝數； I 為線圈電流；X為氣隙間距；l _fe 為鐵芯回路的平均長度：S(A)為鐵芯的截面積

　　根據式子(1)~(3)可以得到

　　根據磁場能量求出電磁力：

　　將非線性系統線性化，可以得到被懸浮對象的狀態空間數學模型：

　　2 磁懸浮系統的魯棒H ∞ 控制器的設計

　　2.1 設計原理

　　魯棒控制算法 ^[7-8,15] 是一種現代控制算法，是利用這種算法設計的控制器能夠使系統在外界干擾的情況下還能保持穩定性。在20世紀80年代初，Zames最先用語言描述了其的基本概念 ^[5] ，自此 H _∞ 控制器得到了迅速的發展。下文主要利用魯棒 H _∞ 控制方法來進行磁懸浮系統控制器的設計。

　　本文進行 H _∞ 控制器設計的時候，主要通過選擇合理的加權函數來進行，選擇的加權函數需要滿足系統的動態性能指標以及穩態性能指標。 H _∞ 加權靈敏度的選擇問題可用圖3表示：

　　其中，r為參考輸入；e為誤差，u為控制輸入， y為輸出，y= [y_a y_b y_c ]^T，其中 W ₁、W₂、W₃ 是3個要設計的加權靈敏度函數。

　　定義3個傳遞函數：

　　其中， L=GF，F為魯棒控制器；G為磁懸浮系統的開環傳遞函數；S為靈敏度。靈敏度越小意味著磁懸浮系統的誤差e越??；令T=I-S，定義為補靈敏度，T的大小直接影響著系統的穩定性。在進行控制器設計的時候，主要是權衡T與S。

　　2.2具體的設計步驟

　　在進行磁懸浮控制系統設計時，設計的核心是保證系統在增加控制器之后不僅能滿足系統的穩態性能，還能使函數P的無窮范數最小。

　　根據加權靈敏度函數的框圖(圖3)，得到 H ∞ 加權混合靈敏度 ^[11] 問題的標準框架為：

　　其中u=Fe。

　　系統的增廣對象模型為

　　令：

　　進行加權函數選擇時，需要滿足以下要求：

　　1）W ₁ 函數的選擇要求

　　也就是 W ₁ 要有低通濾波特性，根據磁懸浮實際的系統分析，系統干擾一般發生在低頻段，為了更好地保證系統魯棒性，要使S的增益加大，同時還要保證 W ₁ 的截止頻率 ω ₁ 小于 W ₃ 的截止頻率 ω ₃ 。

　　2）W ₂ 函數的選擇

　　在進行 W ₂ 函數選擇的時候，主要是根據控制信號（加）的大小來進行選擇的。

　　3）W ₃ 函數的選擇

　　W₃應該具有高通特性，也就是上升的速率要比較大，以此來實現系統的高頻抗干擾的特性。

　　在進行加權函數設計的時候，一般滿足以下的形式：

　　根據上述要求，選擇加權函數為：

　　根據上述推導，通過MATLAB命令得到系統魯棒控制器的傳遞函數為：

　　魯棒控制器的脈沖傳遞函數為：（其中采樣時間T為0.0013s）

　　3 系統仿真

　　3.1 系統參數確定時的仿真

　　通過MATLAB/Simulink仿真模塊對系統進行模型的建立與仿真。為了驗證魯棒控制器的優越性，將其與傳統的PID控制 [12-13] 進行對比，建立的模型如圖4所示：

　　注釋：在進行PID參數選擇的時候，采用臨界比例度算法，首先令K _i = 0，K _d = 0，令K _P =1，不斷調節K _p，當K_u(k_p ) = ?0.586的時候，系統出現臨界等幅震蕩，臨界震蕩的周期 T = 0.1s 。再經過微調得出PID控制器的3個參數。

　　仿真結果如圖5所示：

　　通過上PID以及魯棒控制器仿真結果的分析與計算，得到如表1所示的指標。

　　從表1可知：與傳統的控制器相比，應用魯棒控制器調節時間指標與超調量指標都優于PID控制器。

　　為了更好地驗證魯棒控制系統的穩定性，改變系統參數磁懸浮小球的質量來進行系統的仿真與分析：

　　將磁懸浮小球的質量由46g換為40g,則系統的狀態方程變為:

　　不改變PID參數以及魯棒控制器參數，得到仿真波形如圖6所示。

　　分析仿真圖形,得到PID與魯棒控制器的動態如表2所示。

　　從表2分析：當參數發生變化的時候，魯棒控制器的動態性能優于PID控制器的動態性能。

　　3.3系統外加干擾時

　　給系統在3s的時候外加一個階躍干擾信號，PID控制器與魯棒控制器的仿真波形如圖7所示。

　　根據圖7分析，當外加干擾的時候，魯棒控制器相對于PID控制器來講，能使系統在很短時間內恢復穩定。

　　4 結論

　　磁懸浮系統是一種強非線性，建模困難的一種系統，并且系統的運行容易受到外界環境的干擾。本文主要就這些問題進行了分析，對磁懸浮系統進行建模，并且設計了一種 H ∞ 魯棒控制系統。實驗分析表明，當系統參數改變時，魯棒控制器比PID控制器動態性能更好；當系統受到外界干擾時，魯棒控制器系統也能夠迅速地回到穩定值。

　　參考文獻

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　　作者簡介：

　　李亞琦（1993—），女，碩士，研究方向：人工智能。

　　秦斌（1963—），男，博士，教授，研究方向：智能控制，過程控制。

　　王欣（1971—），女，博士，教授，復雜工業過程建模與優化控制。

　　本文來源于科技期刊《電子產品世界》2019年第10期第37頁，歡迎您寫論文時引用，并注明出處。