用電路實現 pascal三角形運算(圖)

前言
　　pascal三角形，即(a-b)n展開項系數，是一個經典的數學問題，然而它在通信、頻率補償、版圖布局布線優化等很多方面都有廣泛的應用。在一個小數分頻項目中，需要構建一個四級的pascal三角形來進行相位補償，如圖1所示，第二個累加器的溢出必須通過第一個微分控制分頻比，第三個累加器的溢出必須通過第二個微分控制分頻比，依此類推。第二個累加器使分頻比變為n+1、n-1，第三個累加器將分頻比變為n+1、n-2、n+1，第四個累加器的分頻比序列為n+1、n-3、n+3、n-1，正如圖2所示該序列構成一個pascal三角形，每行的總和為零。依照這個規律可以設計實現pascal 三角形運算的通用電路。

pascal三角形的數學描述
　　pascal三角形通常用三角形的方式來表示，如圖2所示，也可以用一個二維的下三角矩陣來描述，如圖3所示。
　　矩陣a[n，n]可以用下面的公式來描述。
　　a[i, j]=a[i, j-1]+(-1)a[i+1, j] (式1)
　　(a[n, 1]=0，a[n, 2]=a[n, 3]=...=a[n, n]=1)
　　i≥1，j≥2。
　　矩陣中第一列的0是為了方便電路實現而人為加上去的。將此二維矩陣表達式(即式1)變成含有時間的一維方程。
　　a[i]j=a[i]j-1+(-1)a[i+1]j (式2)
　　i，j均大于1，a[n]2 =a[n]3=...a[n]n=1。下標表示時間，a[n，1]=0表示剛開始整個電路的清零信號，其余第一列的0表示對應pascal三角形的和為0，最后一行的1表示pascal三角形每一行對應的輸入端有輸入值1時，產生的立即數為1。
　　此外，式2具有疊加性，可以把pascal三角形中的一行加上其余任意一行或者幾行，實現任意時鐘周期的延時。

pascal三角形的基本電路
　　根據上面一維含時公式，先要構建補碼電路，然后是一個加法電路，最后是一個延時電路。
　　假設一個數組a[n:0]表示數的各位，a[0]為最低位，對各位取反，然后最低位加1，得到一個新的數組b[n:0]，這個數組最低位為b[0]，對應的邏輯關系是：

　　其余位按照這個規律依此類推,邏輯圖如圖4所示。
　　采用通用的全加器，邏輯表達式為：

　　示意圖參見圖5。其中ci為上一級的進位，a、b為本級輸入信號，s為全加和，co是本級進位。
　　延時器采用帶清零的d觸發器來實現，見圖6。clock為時鐘信號，clear為清零信號，d是數據輸入信號，q是原量輸出
。
 　　　　　　　　

電路設計
　　首先構建一個4級pascal三角形電路，其中clock是時鐘信號，in1、in2、in3、in4分別對應于pascal三角形的前4行，clear是清零信號。in1、in2、in3、in4輸入之前將觸發器清零，防止輸出不定態。d0、d1、d2、d3是從低到高的四位輸出，sign是符號位，這五位構成輸出。值得注意的是，in4經過與自己直接相連的d觸發器產生的數只有一位，然而它的補碼需要4位，只好在高位加零，這樣補碼電路就可以簡化，圖7就是經過簡化的電路圖。為了增加電路的直觀性，這里省略了電路中所有d觸發器的時鐘信號和清零信號，所有d觸發器的清零信號和時鐘信號分別連在一起。

　　　　　　　　圖7 pascal三角形實現電路

　真值表

電路的驗證與擴展
　　取in1、in2、in3、in4從0001到1111，并且給每組值以足夠的變化周期，可以得到下面的真值表。在viewlogic用xilinx公司的xc4000庫進行模擬，除了可以忽略的毛刺和初始時無關緊要的不定態之外，得到的波形圖與真值表完全一致，其中cp1、cp2、cp3、cp4分別對應于第1、2、3、4時鐘，周期波形圖如圖8所示。

　　　　　　圖8 波形圖

三級的電路得到驗證之后，根據同樣的原理，可以在四級的基礎上進行任意級的構建。

小結
　　本文給出了pascal三角形運算電路的設計思想與實現方法，以及在viewlogic下的驗證，并且還可以根據需要進行任意級的擴展。pascal三角形在版圖布局布線優化等方面的具體應用可以參考有關文獻，在此不再贅述。