控制系統的時域分析法--二階系統的暫態響應

(2) 臨界阻尼情況（ζ=1）

如果C(s)/R(s)的兩個極點接近相等，則系統可近似看作臨界阻尼系統。對于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示為

上式的拉普拉氏反變換為：

(3) 過阻尼情況（ζ>1）

這種情況下，C(s)/R(s)的兩個極點是兩個不等的負實數。對于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以寫成

其拉普拉斯反變換為

式中 ，而 ，顯然，這時系統的響應c(t)包含著兩個衰減的指數項。

當ζ遠大于1時，在兩個衰減的指數項中，一個比另一個衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數項（相應于較小時間常數的指數項），就可以忽略不計。也就是說，如果-s2與j 軸的距離比-s1要近得多（即|s₁|>>|s₂| ），那么在近似解中，可以忽略-s1，因為方程中包含s1的項比包含s2的項衰減得快的多，所以-s1對系統響應的影響，比-s2對系統的影響要小得多，因此忽略-s1是合理的。因此可以將C(s)/R(s)近似地表示為

這一近似函數形式是根據下述條件直接得到的，即原來的函數C(s)/R(s)與近似函數的初始值和最終值，兩者是完全相同的。

對于近似傳遞函數C(s)/R(s)，其單位階躍響應可表示為

其時間響應c(t)為

在過阻尼情況下，二階系統的單位階躍響應是隨時間推移而單調增長，最后在t→∞時趨于穩態值，所以最大超調量是零，調整時間可以用近似的單位階躍響應估算，如借用一階系統單位階躍響應的性質，可以認為響應達到穩態值的95%所需的調整時間

工程上，如果ζ》1.5時，使用上述近似式已有足夠的準確度了。

當系統為欠阻尼情況下，即0 ζ1時，二階系統階躍響應的上升時間tr、峰值時間tp、最大超調量Mp的計算公式按式（3-13）可表示如下。

上升時間tr 令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。這時有

或

所以

（3-14）

由上式可見，如欲減小tr，當ζ一定時，需增大ωn ，反之，若ωn一定時，則需減小ζ。

峰值時間tp 出現第一個峰時，單位階躍響應隨時間的變化率為零。為求tp，可將式（3-13）對時間t求導，并令其為零。于是得

由此可知：

n=0、1、2、……

到達第一個峰值時應有

故得

（3-15）

最大超調量Mp 最大超調量發生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并將tp值代入，即得以百分比表示的超調量

（3-16）

調整時間ts 對于欠阻尼二階系統，暫態響應可由式（3-13）求得為

曲線 ，是系統對單位階躍輸入信號的暫態響應曲線的包絡線，響應曲線c(t)總是包含在一對包絡線之內，如圖3-9所示。包絡線的時間常數為1/(ζωn)。這樣，當采用5%允許誤差時，有

1+=1.05

由上式得

當0 ζ 0.8時，則有

當采用2%允許誤差時，則可推導得出

3.5.3二階系統的脈沖響應

當輸入信號r(t)為單位脈沖函數時，相應的拉普拉斯變換為1，即R(s)=1。則二階系統的單位脈沖響應C(s)為

這個方程的拉普拉斯反變換，就是時域響應解c(t)，這時當0≤ζ1時，

c(t)=(t≥0)

當ζ=1時