控制系統的時域分析法--控制系統的穩態誤差

控制系統的穩態誤差是因輸入信號不同而不同的。因此就需要規定一些典型輸入信號。通過評價系統在這些典型輸入信號作用下的穩態誤差來衡量和比較系統的穩態性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號有以下幾種：

1．單位階躍函數：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。

2．單位斜坡函數

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。

3．單位加速度函數：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。

4．單位脈沖函數

其拉普拉斯變換為R(s)=1。

5．正弦函數：

其中最常用的典型信號為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號。

系統的穩態誤差是指系統在穩定狀態下其實際輸出值（在實際工作中常用系統輸出的測量值代替）與給定值之差。對穩定的單輸入單輸出系統，穩態誤差是時域中衡量系統穩態響應的性能指標，它反映了系統的穩態精度，因此穩態誤差分析是控制系統分析的一項基本內容。

設有如圖3-1所示的系統。它的閉環傳函為

誤差信號e(t)和輸入信號r(t)之間的傳遞函數是

其中誤差e(t)是輸入信號和反饋信號之差。

圖3-1控制系統

終值定理為求穩定系統的穩態誤差提供了一個簡便的方法。因為E(s)是

則穩態誤差是

3.2.3 靜態誤差系數

當系統的輸入信號為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號之一時，上式分別化為：

單輸入單輸出線性系統的傳遞函數一般表示為：

單位階躍函數：

(3-2)

單位斜坡函數：

(3-3)

單位加速度函數：

(3-4)

現定義誤差系數如下：

靜態位置誤差系數Kp:

(3-5)

靜態速度誤差系數Kv：

(3-6)

靜態加速度誤差系數Ka：

(3-7)

將（3-5），（3-6）及（3-7）分別代入（3-2），（3-3）及（3-4）得

單位階躍函數：

(3-8)

單位斜坡函數：

(3-9)

單位加速度函數：

(3-10)

下面進一步考察誤差系數與系統的結構和參數的關系。

系統開環傳遞函數一般寫成

(3-11)

的形式，式中K是系統的開環比例系數。分母中的因子sυ表明開環傳遞函數中含有υ個積分單元。將系統按照υ=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系統穩態誤差系數。

	0型系統	1型系統	2型系統
（階躍輸入）r(t)=1(t)		0	0
（斜坡輸入）r(t)=t/td>	∞		0
（加速度輸入）r(t)=t2/2	∞	∞

誤差系數Kp、Kv和Ka描述了系統減少或消除穩態誤差的能力，系數值愈大，則給定穩態誤差終值愈小。一般來說，在保持瞬態響應在一個允許的范圍內時，希望增加誤差系數，如果在靜態速度誤差系數和加速