FFT、PFT和多相位DFT濾波器組瞬態響應的比較

　　引言

　　濾波器組頻率響應的研究是一個非常復雜的課題。這方面的大多數文章只研究穩定狀態下的響應，事實上，雷達和其它突發方式的信號具有瞬時的特性。因此，了解濾波器組的瞬時性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩定下來需要的時間越長。這是因為越是陡峭的濾波器，其需要的抽頭就越多、沖激響應時間越長。因此，在穩定期間，濾波器抽頭沒有充滿，相鄰信道的頻率響應實際上比非加權的FFT濾波器組還要差。

　　本文將對FFT和多相位DFT濾波器組進行比較，包括穩定狀態和瞬時條件的情況。同時也簡要地分析了過抽樣和所謂的“最小相位”濾波器的內容。

　　濾波器組穩定狀態下的頻率響應

　　頻率響應的比較

　　眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應是Sinx/x (Sinc)函數，對很多應用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡單的窗口函數，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價是主瓣寬度減小。通過設計適當的濾波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應特性。

　　有效噪聲帶寬

　　濾波器性能的另一個重要參數是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。

　　由表1可知，Blackman-Harris窗口加權的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過3dB ；而一個8抽頭多相位DFT(如下面要說明的一個8倍變換長度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。

　　一般時域考慮

　　時域抽樣窗口

　　對簡單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點數目等于它自身的變換長度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點數目大于變換長度。理論上，窗口的大小可以為任意長度。在多相位DFT當中，它通常是變換長度的整數倍(2x，3x等)，但是在WOLA實現中，它可以是任意長度。比方說，一個1024子帶的濾波器組可能需要4096個輸入抽樣(4倍幀長度)作為第一個全輸出的幀。對于PFT濾波器組，需要的抽樣點數目等同于級聯濾波器的沖激響應，但實際效果類似于獲得第一個全輸出幀需要的抽樣點數目，遠超過了幀的長度。

　　過抽樣

　　影響處理吞吐量速率的另一個因素是輸出濾波器需要的過抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個全輸出幀需要4096個抽樣。要實現臨界抽樣就意味著1024子帶的下一幀在時間上必須與前一幀相鄰，并且輸出抽樣速率必須等于輸入抽樣速率。這可以通過下一組4096個抽樣點的起始延時1024個抽樣點、并進行4次交迭處理來實現。要實現過抽樣，需要增加交迭的次數。再用以上的例子，2倍的過抽樣將需要4096個抽樣的延時，而通過8次交迭處理，僅需512個抽樣即可滿足上述要求。PFT通常采用2倍的過抽樣。

　　過抽樣的程度由新抽樣的數目M(每一次新變換的參數)決定。M的值越小，過抽樣因子越大。

　　瞬態分析

　　一般參數

　　盡管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩態條件(如穩定的信號條件和所有的濾波器抽頭充滿)給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態響應卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數是：

　　子帶的數目 = 1024
　　輸入抽樣速率=102.4 MS/s(復數)
　　輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過抽樣)
　　多相位抽頭的數目=5(等同5120點窗口)
　　濾波器阻帶抑制 = -85 dB
　　濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
　　濾波器交迭 = 75%
　　最后一個參數用來測量濾波器的截止率。濾波器被設計成子帶的邊緣內都是平坦的，然后進入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。

　　瞬態的結果由一個正弦波輸入的階梯函數產生，頻率范圍從中心頻率到半個子帶的偏移。它給出了對于FFT的最差的頻譜泄漏。

　　下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個單獨的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這里Fs是輸入復數抽樣速率。

　　FFT瞬態響應

　　圖1給出了非加權FFT的瞬態響應。圖中沒有表示在第一次輸出前需要采集1024個抽樣和實際硬件處理帶來的任何其它延時的“廢棄”時間。因為它是2倍過抽樣，第一個1024點的幀還沒有達到穩定狀態。這可以由以下的事實說明：第一個輸出幀在5ms內產生(1024個點以204.8MS/s 的抽樣速率產生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著只有512個抽樣是有用的(剩余的為0)。

圖1 2倍過抽樣、非加權、1024子帶管道FFT瞬態響應