機器人控制系統運動學方程
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現在，如果我們考察一小段f(x)的變化區間，我們可以將這個區間近似成線性關系，有如下等式：
上面的等式在基礎微積分學通常被稱為斜率局部逼近，可以寫成下面的形式：
如果前面的表達式再重寫一次，我們可以得到以x變化量為參數的等式：
現在，讓我們將同樣的思想，應用到這個等式上。考慮到我們有一個非線性函數g=I(k)，用于確定基于估計方位（k）和 估計腳長度（g）。從設備反饋，我們也知道腳的實際長度（I）。我們的估值誤差就是e=g-l,，目標是如果估值誤差不符合要求就為方位（k*）從新確定一個估計值。然后重復使用上面的方法：
上面的等式看起來很熟悉，它基本上就是我們在之前的簡單微積分例子中展示的方程。我們可以簡單地再一次重寫這個方程，以得到方位 (k*)的新估值表達式：
矩陣dI(k)/dk就是我們所說的Jacobian矩陣。在將Jacobian矩陣應用于我們的上述等式之前必須先將其翻轉，對于六階矩陣就需要6×6求逆矩陣，這是一個復雜的數學推導。一旦姿態的新估計值計算出來，這個過程就可以再次重復，直到誤差(e = g – l) 小于某個可以接受的級別。
如果反向運動方程已知，如下就是通用前向運動方程的推導步驟：
1.估計平臺的初始姿態（k）。對于運動控制器，這通常就是初始受控姿態。
2.基于估計值，計算腳長度，使用反向運動方程(g=I(k))。
3.通過將此腳長度與從編碼器獲得的當前實際腳長度進行比較得到（e = g – l），如果誤差大小小于某個限制，此算法就將當前值收斂于k，并且跳到第6步，如果誤差超過此限制，繼續第4步。
4.使用反向Jacobian矩陣產生新的估計值 (k*=k-inv(dI(k)/dk)*e)。
5.用第4步的結果更新估計值。
6.從第2步重新開始迭代。這個算法并不僅僅適用于六自由度系統，只要反向運動方程已知，它就可以用于推導任何系統的前向方程（有收斂解的系統）。
總結
一個強壯的控制機器人系統的方法的關鍵就是運動方程，這些方程不僅僅描述了系統的幾何結構，他們也使得具有足夠處理能力和速度的現代運動控制器，能夠完成必要的計算，以提供對系統的平滑運動控制。運動方程通常在實時領域可以直接求解，然而，對于一些復雜系統，直接求解無法實現，可以采用一些算法，進行求解。高性能的現代控制器提供了特定的結構，可以在控制系統內固化這些等式，為很多領域提供了開發機器人系統的可能性。
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