工程師需要了解的知識：控制系統的穩定性標準

我們已經看到，開環路增益是我們系統中的一項重要參數。當增益存在時(即|T(s)|>1)，系統以動態閉合環路工作，能補償輸入的擾動或對設定點變化作出反應。然而，系統反應也存在限制：系統必須在擾動信號所涉及的頻率提供增益。如果設定點變化的擾動太快，勵磁信號的頻率成分就低于系統帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統變慢且不會作出反應，工作狀態就像環路對波形變化沒有響應。那么，是否就要求無限大的帶寬呢?不是的，因為增加帶寬就象是拓寬漏斗的直徑：您當然可以收集到更多信息，并對輸入振動更快地作出反應，但系統也將接收到偽信號(spurious signal)，如轉換器在某些情況下自己產生的噪聲及寄生參數(如開關電源中的輸出漣波)。因此，強制要求將帶寬限制在您應用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號的強固性)。

限制帶寬

我們怎樣限制控制系統的帶寬?方法就是通過補償器區塊G改變環路增益曲線。此區塊將確保在一定量的頻率fc后，環路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環路閉合，它大致就是您的控制系統的帶寬。發生此現象時的頻率稱作交越頻率，標作fc。這就是否足夠獲得強健的系統?不是的，我們需要確保另一個重要參數：幅值為1的點的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實驗來看，我們已經看到當環路增益在交越頻率處低于-180°時，我們獲得了朝穩態收斂的響應。這很明顯是我們控制系統極想要的一種特征。為了確保我們在交越時避開-180°，補償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環路幅角(argument)以構建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項設計或安全限制，確保在即使存在外部擾動或不可避免的生產差異范圍(production spread)的情況下，環路增益的變化不會破壞穩定性。我們在后文會看到，相位余量還會影響系統的瞬時響應。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時響應類型。相位余量的數學定義如下所示：

其中T代表開環路增益，其中包括分級的控體H和補償器G增益。圖3中顯示了經典補償的典型環路增益曲線，其中顯示交越頻率為6.5 kHz。在此點，T(s)相位為-90°。如果您想在6.5 kHz時從-180°起步，并正向清點相位度數直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。這就是一個極為強健的系統，被認為在各種條件下都穩定：即使在交越點附近環路增益有一定程度的變化，也沒有可能在相位余量太小的頻率交越。所謂的“太小”，我們指的是相位余量接近30°極限，低于此值時系統就提供不可接受的振鈴(ringing)響應。這就是為什么您在上學時學習到45°是極限，此值相較于30°而言提供了額外的余量。我們稍后會看到這些數字的來源分析。

圖3. 在此示例中，0 dB交越點位于6.5 kHz，此頻率時總相位滯后提供了90°的相位余量

增益余量及穩定條件

圖4顯示了被補償轉換器的另一個典型頻率響應，重點顯示了0 dB交越點及相位余量。我們根據經驗可知，構成轉換器的元件在產生生命周期內會再現性能變化。這些變化可能是因正常的生產差異范圍引起的(如電阻或電容遭受逐批次公差不同的影響)。轉換器的環境工作條件也對元件有影響。在這些變量中，溫度充當關鍵角色，影響被動或主動元件參數，如電容或電感等效串列電阻(ESR)、光耦電流傳遞比(CTR)或是雙極晶體管的beta值。這些變量影響環路增益，使其上升或下降，具體則取決于受影響的參數。

圖4. 環路增益會顯示出對溫度等外部參數的敏感性。出現變化時，相位余量必須始終保持在安全限制范圍內。

如果增益曲線出現變化，0 dB交越頻率將過渡至新的值，為轉換器施加不同的帶寬。在這些變化條件下轉換器的穩定性會受到怎樣的影響?如果新的交越頻率出現在相位余量較少的點，瞬時響應性能可能下降，使過沖不再能被接受。因此，身為設計人員，你的責任就是確保這些差量(dispersion)在你接近-180°極限時不會突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定義如下所示：

它對應于恰好為-180°或弧度的頻率點(圖3中為1 MHz).

圖4描繪了由于所選擇元件生產差異范圍導致的±10 dB典型增益變化。它帶來了1.5 kHz至30 kHz的交越頻率。在此區域，相位