工程師需要了解的知識：控制系統的穩定性標準

《線性及開關電源的控制環路設計》是Power Electronics前專欄作者Christophe Basso的最新著作。此著作注重探討工程師真正需要了解的補償及穩定給定控制系統的知識。本文包含此書有關穩定性標準章節的摘錄內容。

在電子領域，振蕩器是一種能夠產生自激正弦信號的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時噪聲等級上升，此時開始振蕩及自激。此類電路可采用圖1所示的構成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統的配置。

圖1：振蕩器實質上是一種誤差信號，不會妨礙輸出信號變化的控制系統。

在我們的示例中，勵磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動振蕩器。直接通道由傳遞函數H(s)構成，而返回通道包含G(s)區塊。要分析此系統，我們首先通過輸出電壓與輸入變量的變化關系方程式來寫出其傳遞函數：

如果我們擴充此公式及Vout(s)項，我們就得到

故此類系統的傳遞函數就是：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱作環路增益，其標記為T(s)。要將我們的系統轉換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號，即使輸入信號已消失。為了滿足這樣的目標，就必須符合下列條件：

要在Vin消失條件下驗證此方程式，商數(quotient)就必須無限大。商數無限大的條件就是特征方程式D(s)等于0：

要滿足此條件，G(s)H(s)必須等于-1。換句話說，環路增益的大小就必須為1，其符號應當改為負號。正弦信號的符號改變只不過是相位翻轉180°。這兩個條件能以下面兩個方程式來進行數學表述：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來表述。

在滿足這兩個方程式的條件下，我們就得到穩態振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標準，由德國物理學家Barkhause在1921年提出。實際上講，在一個控制環路系統中，它表示修正信號不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵磁信號相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環路增益曲線，此曲線穿過0 dB軸，且恰好在此點受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環路增益的虛數及實數部份相對頻率的變化關系被繪制成圖，此點對應于-1, j0。圖2顯示了滿足振蕩條件的兩個曲線。如果系統略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會以指數形式下降至0，要么振幅發散，直到達到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設計人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿足。穩定條件

如您所知，控制系統的目標不是構建振蕩器。我們希望控制系統提供高速、精確及無振蕩的響應。因此，我們必須避開滿足振蕩或發散條件的配置。一種方式是限制系統會作出反應的頻率范圍