自動控制系統的設計--控制系統設計的基本思路

（一）超前校正裝置

圖6－3分別為無源和有源超前校正網絡。對于無源校正裝置(a)，忽略該網絡的輸入阻抗和輸出阻抗效應，則其傳遞函數為：

(6-1)

式中，

,

上式另一常見形式可寫作：

(6-2)

式中，

,

對于有源校正裝置(b)，其對應的傳遞函數為：

(6-3)

式中，

。

負號是因為采用了負反饋的運算放大器，再串聯一只反相運算放大器即可消除負號。

在式（6－3）中，令R1C=T1,R2C=T2 ，則（6－3）可寫成如下形式：

(6-4)

上式即為實際的比例微分控制器（PD）的傳遞函數的表達式。

超前校正裝置的零、極點分布如圖6－4所示，由于β>1 ，故 Gc(s)的零點總在其極點的右側。由式（6－1）和式（6－2）可知，在采用超前校正網絡時，系統的開環增益會有1/β （或k ）倍的衰減。對此，用放大倍數β 或（1/k）的附加放大器予以補償。經補償后，令α=1/β ，其傳遞函數 ，

頻率特性為:

(6-5)

與式（6－5）對應的幅頻特性的表達式分別為：

(6-6)

(6-7)

其相應的極坐標如圖6－5。由圖可見，超前校正裝置的極坐標是一個位于第一象限的半圓，圓心坐標 [(1+1/α)/2,j0],半徑為 (1/α-1)/2,從坐標原點到半圓作切線，它與正實軸的夾角即為該校正裝置的最大超前角φm ，且有：

(6-8)

此最大超前角對應的頻率可由式（6－7）得到。令dφ(ω)/dω=0,則有：

(6-9)

對式（6－6）的幅頻特性取對數坐標，有：

根據式（6—7）、（6—10），可令 ，利用如下Matkab語句作出它的伯德圖，如圖6—6所示。

alpha=0.1; T=1;

Gc=tf([T,1],[alpha*T,1]);

[x0,y0,w]=Bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

由式（6—7）可知，由于α1，因而當 0ω∞時，校正網絡的相位總是正值。這明輸出信號在相位上總超前于輸入信號一個角度，因而稱該校正網絡為超前校正。同時，由于當ω→0，L(ω)→0 ；當ω→+∞時，L(ω)→最大值20lg(1/α) ，所以超前校正裝置又是一個高通濾波器。

比較圖6－4和圖6－5可見，ωm是Gc(s)零點和極點的幾何平均值。理論上，最大相位超前角φm不大于90°，但實際上，一般超前校正網絡的最大相位超前角φm不大于65° 。如果要得到大于65°的相位超前角，可用兩個超前校正網絡相串聯來實現，并在串聯的兩個網絡之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負載效應。

6.2.2 遲后校正
與超前校正相反，如果一個控制系統具有良好的動態性能，但其靜態性能指標較差（如靜態誤差較大）時，則一般可采用遲后校正裝置，使系統的開環增益有較大幅度的增加，而同時又可使校正后的系統動態指標保持原系統的良好狀態。

(一) 遲后校正裝置

無源的遲后校正裝置可由圖6—7（a）構成。由圖可得到該校正裝置的傳遞函數

(6-11)

式中，

,

(6-12)

(6-13)

（二）遲后校正裝置的極點及頻率特性
由式（6－11）可分別得到該遲后校正裝置的零、極點分布圖（6—8）、極坐標圖（6—9）、伯德圖（6—10）

圖中，

,

比較超前校正裝置和遲后校正裝置可以發現，遲后校正裝置具有如下特點：

1）輸出相位總滯后于輸入相位，這是校正中必須要避免的；

2）它是一個低通濾波器，具有高頻率衰減的作用；

3）利用它的高頻衰減作用（當 ），使校正后系統剪切頻率 前移，從而達到增大相位裕量的目的。

6.2.3 遲后－超前校正
(一) 遲后－超前校正裝置

上圖構成了遲后－超前的無源和有源裝置，無源校正裝置的傳遞函數為：

上式中，令：T1=R1C1,T2=R2C2,T1/β+βT2=R1C1+R2C2+R1C2,β>1,且令 T2>T1。同時，上式也可改寫成如下形式：

(6-15)

其中前半部分起超前作用，后半部分起遲后作用。

同理，有源校正裝置的傳遞函數為：

(6-16)

顯然，有源遲后－超前校正裝置的傳遞函數同時是一個典型的PID控制器，式中：KP為比例系數，Ti 積分時間常數，Td為微分時間常數。

（二）遲后－超前校正裝置的極點及頻率特性
根據遲后－超前裝置的傳遞函數，可得到其頻率特性：

(6-17)

其對應的幅頻特性和相頻特性分別為：

(6-18)

根據上面二式可分別畫出其零、極點分布圖、極坐標圖、伯德圖。從圖中看出，因 T2>T1，遲后部分的零極點更靠近原點，使系統的靜態性能得到改善。

從圖6－13和6－14可以看出當ω從0→ω1 變化時，遲后－超前校正裝置起超前作用，而當ω從ω1→∞ 變化時，校正裝置起遲后作用。由下列Matlab語句可得到其伯德圖：

alpha=[0.1:0.1:0.5]; T1=1;T2=5;

Gc=tf([T1,1],[alpha*T1,1])*tf([alpha*T2,i],[T2,1]);

[x0,y0,w]=bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

同時，容易計算相角為零的頻率ω1 為：

(6-20)

可見，遲后－超前校正裝置是超前裝置和遲后裝置的組合。