頻率響應法-相對穩定性分析

為了使控制系統能可靠地工作，不但要求它能穩定，而且還希望有足夠的穩定裕量，使系統在環境發生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對穩定性的概念。

在討論系統的穩定裕量時，首先要假定開環系統是穩定的，是最小相位系統，即開環系統的零、極點均僅位于s的左半平面，否則討論系統的穩定裕量是無意義的。

為了說明相對穩定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統 曲線，其開環系統的傳遞函數為： 。根據奈氏判據可知，當 時，系統不穩定，奈氏曲線包圍（－1，j0）點；當 時，系統產生等幅振蕩，奈氏曲線經過（－1，j0）點；當 時，系統穩定，奈氏曲線不包圍（－1，j0）點。因此直觀地看，對于開環穩定的系統，要求閉環系統有一定的穩定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點，而且應與該點有一定的距離，即有一定的穩定裕量。

衡量閉環系統相對穩定性的具體指標有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應地有專門的函數來求取上述指標：Margin。具體用法參見下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設一開環穩定的系統的奈氏曲線 負實軸相交于G點，與單位圓相交于C點，如圖5－50。對應于 時的頻率 （交點C）稱為增益穿越頻率，又稱剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統達到臨界穩定狀態時所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對于任何系統，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開環頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對于開環穩定的系統，若 ，表示 曲線包圍（－1，j0）點，相應的閉環系統是不穩定的；反之，若 ，則相應的閉環系統是穩定的。一般 越大，系統的相對穩定性也就越好。因為系統的參數并非絕對不變，如果 太小，就有可能因參數的變化而使奈奎斯特曲線包圍（－1，j0）點，即導致系統不穩定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統相對穩定性的另一度量指標。如圖5－50所示，開環頻率特性的相角 時的頻率 （交點G）處， 稱為相位穿越頻率，又稱為相位交界頻率。開環幅值 的倒數稱為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統在變到臨界穩定時，系統的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩定判據可知，對于最小相位系統，其閉環穩定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點，即 曲線與其負實軸交點處的模小于1，此時對應的 。反之，對于不穩定的系統，其 ，如圖5－51所示，閉環系統是不穩定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對數幅相圖（Bode圖）上表示。對應于圖5－5