頻率響應(yīng)法-- 頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)的關(guān)

頻率響應(yīng)法是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的一些特征量間接地表征系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能，因而這些特征量又被稱為頻域性能指標(biāo)。常用的頻域性能指標(biāo)包括：開環(huán)頻率特中的相位裕量、增益裕量；閉環(huán)頻率特中的諧振峰值、頻帶寬度和諧振頻率等。在時域分析中，控制系統(tǒng)包括靜態(tài)性能指標(biāo)和動態(tài)性能指標(biāo)。雖然這些頻域性能指標(biāo)沒有時域性能指標(biāo)那樣直觀，但對于二階系統(tǒng)而言，它們與時域性能指標(biāo)間有著確定的對應(yīng)關(guān)系；在高階系統(tǒng)中，只要存在一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則它們也有著近似的對應(yīng)關(guān)系。

5.6.1 開環(huán)頻率特性中相位裕量與時域性能指標(biāo)的關(guān)系

關(guān)于開環(huán)頻率特性低頻段與閉環(huán)系統(tǒng)靜態(tài)性能的關(guān)系我們在5.3.4中已作了分析，此處我們著重研究二階系統(tǒng)的相位裕量 、剪切頻率 與阻尼比間的關(guān)系。

當(dāng) 時， ，即

求解上式，得

(5-60)

據(jù)此求得 的相角為

(5-61)

由相位裕量的定義得

(5-62)

圖5－59為 與 的關(guān)系曲線。

1、 與超調(diào)量的關(guān)系

在前面第三章已知，超調(diào)量 和阻尼比 之間的定量關(guān)系為

(5-63)

將式（5－62）和式（5－63）的函數(shù)關(guān)系，以 為橫坐標(biāo)， 和 為縱坐標(biāo)，繪制于同一張圖上，如圖5－60所示。這樣，根據(jù)給定的相位裕量 就可由圖5－60直接得到時域特性的最大超調(diào)量 。反之，當(dāng)要求超調(diào)量不超過某一允許的 值時，也可以從圖5－60中求得應(yīng)有的相信裕量 。

2、 與調(diào)整時間的關(guān)系

相位裕量 與調(diào)整時間 之間的定量關(guān)系。仍以二階系統(tǒng)為例，在第三章已求得調(diào)整時間 的近似表達式

(5-64)

將式（5－60）代入式（5－64）可得

(5-65)

再由式（5－62）和式（5－65）可得

(5-66)

將式（5－66）的函數(shù)關(guān)系繪成曲線，如圖5－61所示（圖中畫的是 　的關(guān)系式）。

如果有兩個系統(tǒng)，其相位裕量 相同，那么他們的最大超調(diào)量 （時域）是大致相同的，但他們的調(diào)整時間 并不一定相同。由式（5－66）可知， 與剪切頻率 成反比，即越大，時域的調(diào)整時間 越短。所以剪切頻率 在頻率特性中是一個很特殊的重要參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕量，還影響動態(tài)過程的調(diào)整時間

上述的頻域性能與時域性能的定量關(guān)系都是基于二階系統(tǒng)得出來的。對于高階系統(tǒng)，只要存在一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，就可以利用上述二階系統(tǒng)分析的一些定量關(guān)系，以簡化系統(tǒng)的設(shè)計

5.6.2 閉環(huán)頻率特性及其特征量

由于開環(huán)和閉環(huán)頻率特性間有著確定的關(guān)系，因而可以通過開環(huán)頻率特性求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為

(5-67)

上式描述了開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系。如果已知 曲線上的一點，就可由式（5－67）確定閉環(huán)頻率特性曲線上相應(yīng)的一點。

對于非單位反饋系統(tǒng)，如圖5－62a，則可先將其等效為如圖5－62b的系統(tǒng)，然后按上法先求圖5－62b中單位反饋系統(tǒng)的頻率特性 ，再與頻率特性 相乘，即可得到總的閉環(huán)頻率特性。

用這種方法逐點繪制閉環(huán)頻率特性曲線，在工程上，常用等M圓、等N圓和Nicoles圖線來表示閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，并用用圖解法去繪制。顯然這是既繁瑣又費時間的工作。現(xiàn)在這些工作可由計算機軟件實現(xiàn)，例如在Matlab中就有專門的繪制等M圓、等N圓和Nicoles圖線的函數(shù)，從而大大提高了繪圖的效率和精度。本節(jié)我們不對閉環(huán)頻率特性的繪制方法進行研究，僅對閉環(huán)頻率特性與時間性能指標(biāo)間的關(guān)系作些分析。

1． 閉環(huán)頻率特性的諧振峰值 與諧振頻率

在本章第三節(jié)，針對二階系統(tǒng)我們給出了二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值 和諧振頻率 的概念，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值在諧振頻率 處所取得的最大值 ，稱為諧振峰值。如圖5－63所示。

2． 截止頻率和頻帶寬度

圖5－63為 時閉環(huán)對數(shù)幅頻特性的一般形狀。當(dāng)幅頻值下降到低于零頻率值以下3dB時，對應(yīng)的頻率 稱為截止頻率，即有

對應(yīng)于閉環(huán)幅頻值不低于－3dB的頻率范圍 ，通常稱為系統(tǒng)的頻帶寬度。系統(tǒng)的頻帶寬度反映了系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力，具有寬的帶寬的系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)的速度快，調(diào)整的時間也小。

例5－11　試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗證...

設(shè)有二個控制系統(tǒng)，它們的傳遞函數(shù)分別為

系統(tǒng)I：

系統(tǒng)Ⅱ：

試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗證具有較大帶寬的系統(tǒng)比具有較小帶寬的系統(tǒng)響應(yīng)速度快，對輸入信號的跟隨性能好。

解　　圖5－64a為上述兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（圖中虛線為其漸近線）。由圖可見，系統(tǒng)I的帶寬為 ，系統(tǒng)Ⅱ的帶寬為 ，即系統(tǒng)I的帶寬是系統(tǒng)Ⅱ帶寬的三倍。圖5－64b表示了兩系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。顯然，系統(tǒng)I較系統(tǒng)Ⅱ具有較快的階躍響應(yīng)，并且前者跟蹤階躍輸入的性能也明顯優(yōu)于后者。

需要指出，寬的帶寬雖然能提高系統(tǒng)響應(yīng)的速度，但也不能過大，否則會降低系統(tǒng)過濾高頻噪聲的能力。因此在設(shè)計系統(tǒng)時，對于頻帶寬度的確定必須兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗高頻干擾的要求，采取一種折衷的方案。

5.6.3 閉環(huán)頻域特性與時域響應(yīng)性能指標(biāo)的關(guān)系

對于二階系統(tǒng)，其時域響應(yīng)與頻域響應(yīng)之間有著確定的對應(yīng)關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為

(5-68)

式中

當(dāng) 時，系統(tǒng)有諧振產(chǎn)生，由本章第三節(jié)討論可知，其諧振峰值分別為

(5-69)

(5-70)

由式（5－70）得

(5-71)

1、諧振峰值 和最大超調(diào)量 的關(guān)系

為了便于對諧振峰值 和最大超調(diào)量 作比較，把 和 與 的關(guān)系曲線都畫在圖5－65中。由圖可見， 和 均隨著 的減小而增大。顯然，對于同一個系統(tǒng)，若在時域內(nèi)的 大，則在頻域中的 必然也是大的；反之亦然。為了使系統(tǒng)具有良好的相對穩(wěn)定性，在設(shè)計系統(tǒng)時，通常取 值在 之間，對應(yīng)的 將坐落在 之間。

把式（5－70）代入式（5－63），則得

(5-72)

如果已知 ，則由上式可求得對應(yīng)的 。

圖5－66 和 ， 關(guān)系

2、諧振峰值 和調(diào)整時間 、峰值時間 關(guān)系

根據(jù)在第三章中導(dǎo)出二階系統(tǒng)的上升時間和調(diào)整時間的關(guān)系式，并考慮到式（5－69），則得

(5-73)

(5-74)

由式（5－70）有：

(5-75)

(5-76)

將式（5－75）的函數(shù)關(guān)系用曲線表示，如圖5－66。可見，峰值時間 與諧振峰值 成正比，而峰值時間 與諧振頻率 成反比。調(diào)整時間 與 和 的關(guān)系和峰值時間 與它們的關(guān)系相同。同時上述兩式表明，如果已知 和 ，就能從上述關(guān)系式中求出 和 。

3、頻帶寬度與峰值時間、調(diào)整時間的關(guān)系

根據(jù)頻帶寬度的定義，當(dāng) 時，二階系統(tǒng)的幅頻為

求解上式，得

(5-77)

同理，注意到式（5－73）、（5－74），并對照式（5－69），則得

(5-78)

(5-79)

由式（5－78）和（5－79）可知，對于給定的 ， 和均與 成反比。這就是說， 越大，則系統(tǒng)響應(yīng)的速度就越快。

把式（5－70）代入式（5－78）、（5－79），可求得

(5-80)

(5-81)

上述兩式把時域性能指標(biāo) 、 與頻域性能指標(biāo) 和 聯(lián)系起來，如果已知 和 ，就能從上述關(guān)系式中求出 和 。

對于高階系統(tǒng)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與時域響應(yīng)間的對應(yīng)關(guān)系可通過經(jīng)驗公式聯(lián)系，也通過傅氏積分，即，

(5-82)

由于這種積分變換較復(fù)雜，因而不可能像二階系統(tǒng)那樣簡單地描述頻域響應(yīng)與時域響應(yīng)間的對應(yīng)關(guān)系，其積分一般借助于計算機輔助算法，且目前這些算法均比較成熟。如果高階系統(tǒng)中有一對共軛主導(dǎo)極點，則上述二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)與頻域響應(yīng)間的對應(yīng)關(guān)系就可近似地應(yīng)用于高階系統(tǒng)中去。