基于全相位幅頻特性補償的FIR濾波器設計

相比于圖3：圖4(a)的子濾波器1、2的傳輸曲線分別往右和往左移動了0．25個△ω。圖4(b)是將兩子濾波器復合疊加的結果：可發(fā)現其低頻區(qū)域凹下一塊，這就是說，復合后的濾波器不具備低通特性，因而需用全相位補償法予以解決。
借助計算機輔助設計可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N處的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，設置一頻率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1―b]T，利用Hc采用全相位設計可構造出一補償濾波器：圖5(a)為在加kaiser(N，1)窗與矩形窗卷積形成的單窗下而得到的補償濾波器hc的幅頻曲線，圖5(b)為補償后的濾波器g的幅頻曲線。很明顯，補償后的幅頻曲線消除了低頻區(qū)的凹口，獲得了平坦特性。
由于補償后的濾波器系數由兩個子濾波器系數h1'、h2'和補償濾波器hc疊加而來，從而有：

圖5(b)中的邊界頻率為：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于圖2，都精確地平移0．25個△ω。
由于hl’、h2’系數互為共軛，且補償濾波器hc的系數也為實數，因而濾波器g的系數也為實數。

4 全相位補償法下的其他類型濾波器設計
除設計低通濾波器外，采用這種補償的方法可設計任意類型的FIR濾波器，大致都可分為如下步驟：(1)從偶對稱的頻率向量H衍生出兩個互為對稱的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位濾波器設計步驟設計出兩個子濾波器h1，h2(也可形成子濾波器對)。(3)再將子濾波器hl，h2分別乘以互為共軛的相移向量vl、v2，令相移后的子濾波器分別為h1’、h2'。(4)將濾波器h1’、h2’進行復合而得到g'，其對應的幅頻函數為G'(ejω)。(5)借助于計算機輔助設計，得出G'(ejω)在需要補償的k△ω頻率點處的值。(6)根據補償頻率點處的G'(ejω)值構造出補償頻率響應向量Hc，并根據Hc選擇適當的單窗構造出補償濾波器hc。(7)將h1'、h2'、hc進行復合疊加得到最后的濾波器g。
各種類型濾波器的構造區(qū)別僅在于步驟(1)的頻率向量的衍生方式、步驟(4)的復合方式及步驟(5)補償頻率點的選擇位置有所不同。由于篇幅所限，對各類型只作簡單描述：
4．1 高通濾波器的設計
將步驟(1)的高通頻率向量H用旁補法的衍生方式形成兩個對稱的頻率向量H1、H2，然后利用幅頻曲線的高頻區(qū)域的幅頻值構造補償濾波器hc，再根據式(10)得到最后的高通濾波器系數。
4．2 帶通濾波器的設計
其基本思想是采用兩個截止頻率不同的低通濾波器系數相減的方法得到帶通濾波器。由于每個低通濾波器可分成2個頻率向量，因此需要分解成4個單邊帶的頻率向量。以N=32為例，設兩個低通頻率向量分別為：

由Ha、Hb可分別分裂成兩個頻率向量，從而可得到四個單邊帶的頻率向量：

設定兩個頻移參數λ1、λ2，使得Ha1、Ha2對應的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動λ1個2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2對應的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動λ2個2π／N(rad／s)，假設平移后四個單邊帶頻率向量對應的濾波器系數為ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，則復合后的帶通濾波器系數可表述為：

由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都對應低通傳輸特性，因此需要補償的頻率點位置也出現在低頻區(qū)，采用3．1旁補法即可得到補償濾波器hc。再按照步驟(7)即可得到最后的帶通濾波器g。
可見，通過設置頻移參數λ1、λ2就可靈活調整帶通濾波器的頻帶位置及其帶寬，因而控制了邊界頻率。