用雙線性變換法設計IIR濾波器

1 IIR濾波器的設計
1．1 雙線性變換法的基本原理
本文中用的是雙線性變換法，因此這里簡單介紹一下。雙線性變換法的S域與Z域間的變換關系為：

由式(1)可以看出，z和s之間可以直接代換，由于這是一非線性變換，需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓，以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內部。
對于5平面上的虛軸jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：

可見：
上式表明S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個jΩ)經映射后確已成為z平面上的單位圓，但Ω與為非線性關系，因此，通過雙線性變換后兩個濾波器的頻率特性形狀不能保持相同，雙線性變換不存在混迭效應。
對于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：

此式表明，當σ0，有|z|1，因而s平面的左半平面被映射在單位圓內部，這意味著穩定的模擬濾波器經雙線性變換可以映射成穩定的數字濾波器。
1．2 IIR濾波器的設計
IIR數字濾波器的設計借助模擬濾波器原型，再將模擬濾波器轉換成數字濾波器，這些過程已經成為一整套成熟的設計程序。模擬濾波器的設計已經有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的公式，而且還有較為完整的圖表查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數字濾波器的設計帶來很大的方便。
已知數字低通濾波器的設計要求wp，ws，Rp和As，首先設計一個等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數字濾波器來確定H(z)。對這個過程所要求的步驟是：
1)選取T并確定模擬頻率：利用設計參數Ωp，Ωs，Rp和As，設計一個模擬濾波器Ha(s)；這可以利用模擬濾波器的原型來完成；3)再將(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
本文給定數字濾波器特性為：