有源濾波器中的相位關系考察

在使用濾波器的應用中，通常人們對幅值響應的興趣要比對相位響應的興趣更濃厚。但是，在某些應用中，濾波器的相位響應也很重要。一個實例是 濾波器用于過程控制環路中的情形。這里，人們關心的是總的相移量，因為它影響到環路的穩定性。用來搭建濾波器的拓撲結構是否會造成在某些頻率點處符號出現 相反，是非常重要的。

　　將有源濾波器視為兩個級聯的濾波器是一個有用的方法。如圖1所示，其中一個濾波器是理想的濾波器，用于體現傳遞函 數;另一個是構成濾波器的放大器。在閉環的負反饋環路中所采用的放大器可以被視為一個具有一階響應的、簡單的低通濾波器。當頻率超過某一點后，增益將隨著 頻率的增長而出現滾降現象。此外，如果放大器使用反相放大結構的話，則所有頻率點上還將出現附加的180°相移。

　　圖1. 以兩個級聯的傳遞函數的形式表示的濾波器

　　濾 波器設計過程可分為兩步。首先選定濾波器的響應特性，接下來選出適當的電路結構來實現它。濾波器的響應是指衰減曲線的形狀，這常常可以歸為經典的響應特性 中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應特性的選擇往往會影響幅值響應特性，但它們也會影響相位響 應特性的形狀。在本文中，為了進行比較，忽略幅值響應，認為其幾乎不變。

　　濾波器的復雜性往往通過濾波器的“階數”來定義，該參數與儲能元 件(電感和電容)的數量有關。濾波器傳遞函數分母的階數定義了隨著頻率的上升而呈現的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為-6ndB/倍頻程，或者 -20ndB/十倍頻程，其中n是極點的數量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長或者縮減。因此，一個一階(或者單極點)濾波器的 滾降速率為-6dB/倍頻程或者-20dB/十倍頻程。類似的，一個二階(或者2極點)濾波器的滾降速率為-12dB/倍頻程或者-40dB/十倍頻程。 更高階次的濾波器往往是由級聯的一階和二階基本單元所構成的。自然，我們可以利用單個有源放大電路級來構建三階、甚至四階濾波器，但是對于元件值的敏感， 以及元件之間的相互作用對頻率響應所造成影響的大幅度上升，會使這些選擇不那么具有吸引力。

　　傳遞函數

　　首先，我們考察一下傳遞函數的相位響應。對于同樣階數的濾波器選項來說，它們的傳遞函數的相移特性都相同。

　　對于單極點、低通的情形，傳遞函數的相移為φ，由下式給出。

(1)

　　式中：ω = 頻率(弧度/秒)

　　ω0 = 中心頻率(弧度/秒)

　　以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因為每個360°周期對應著2π弧度。由于上面的表達式是一個無量綱的比值，故f和ω都可以采用。

　　中 心頻率還可以被稱為截止頻率(即該單極點、低通濾波器的幅值響應特性下降3dB——約30%——的頻率點)。在相位關系方面，中心頻率是相移量達到其最終 值-–90°(在這個例子中)的50%時的頻率點。圖2是一幅半對數圖，描述了公式1所表述的相位響應關系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個十倍頻程至中 心頻率以上的兩個十倍頻程。中心頻率(=1)處的相位移動為–45°。

　　圖2. 一個單極點、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(同相，左軸;反相響應，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)