因果推斷入門：為什么需要因果推斷？（4）

4、因果模型、do算子、干預

4.1 do算子和干預

在概率中，我們有以... 為條件的概念（condition on），但這與干預不同。以  為條件僅意味著我們將關注點限制在 整體人群中接受 treatment=t 的這一部分人群。相比之下，干預 intervention 是讓整體人群都接受 treatment=t，而不管觀察到的其本身的 treatment 是否為 t。通常用 do 算子表示干預操作，即讓整體人群都接受 treatment=t 等價于 。可以對照圖 4.2 加深理解，subpopulations 表示觀察到的數據中藍色部分是 T=0 的集合，紅色部分是 T=1 的集合。Conditioning 表示我們只關注其中的藍色部分或紅色部分。do(T=1) 是指讓本身 T=0 的藍色部分也變成 T=0，即紅色。

還記得第二章講的潛在結果 potential outcome 嗎， 和  是等價的。 的分布可以寫成：

平均因果效應 ATE 就可以寫成如下形式：

我們更關心  而非其均值，有了概率分布，期望自然就求出來了。我們將  及其他包含 do 算子的概率分布統稱為干預分布 interventional distributions.。
干預分布  和觀察分布 observational distribution  有本質的區別。觀察分布  或  中沒有 do 算子，所以我們可以從觀察到的數據中直接求得而不需要做任何額外的實驗。如果可以將包含 do 算子的表達式 Q 化簡成不包含 do 的形式，那么 Q 就是可識別 identi?able 的。
不論何時，每當 do 算子出現在“｜”之后，都意味著該表達式中的一切都在干預措施發生后（即 post-intervention）的情況下得到的。例如  表示在  這個 subset 中讓其中所有個體的 treatment 都等于 t 后 Y 的期望。相反， 表示在  這個 subset 中被干預之前（i.e. pre-intervention）的期望。這兩者的區別對之后要介紹的反事實非常重要。 

4.2 Modularity模塊化假設

在介紹這個非常重要的假設之前，我們必須指定因果機制是什么。有幾種不同的方法可以考慮因果機制。在本節中，我們將產生  的因果機制指定為  的條件概率分布 。正如圖 4.3 所示，產生  的因果機制是所有  的父節點及其指向  的邊。  

模塊化假設是指：假設對變量  干預只會改變  的因果機制，只局限在圖中橢圓內，不會改變生成任何其他變量的因果機制。從這個意義上講，因果機制是模塊化的。模塊化假設的明確定義如下：    

如果對節點集合 S 進行干預，將其中的變量設為常數，對于任意節點 i：

• 如果節點 i 不在集合 S 中，那么其條件概率分布保持不變

• 如果節點 i 在集合 S 中，如果  是變量  被干預后指定的值，那么  一定為 1，否則為 0。

第二點也可以說，如果  和干預一致（  is consistent with the intervention ）（ 等于  被干預后的值），則    
模塊化假設允許我們只在一個圖中就可以 encode 不同的干預分布。例如

這三種完全不同的分布，都可以用表示聯合概率分布  的圖來表示，除了涉及到干預的 factor，其他的 factor 都是一樣的。
干預分布的因果圖與用于聯合分布的圖相同，只不過是移除了指向干預節點的所有邊：這是因為被干預節點的條件概率分布  已經是 1 了，因此我們可以忽略該 factor。另一種解釋是既然干預節點已經設置為常數，那么它必然不會受到父節點的影響，因此可以去掉之間的因果關系。刪掉邊的圖稱為 manipulated graph。以圖 4.4 為例，對 T 干預對應 (b)，對  干預對應 (c).  

4.3 截斷因式分解

回顧下貝葉斯網路中聯合概率分布的分解形式：

現在對節點集合S進行干預，對于 ， 和干預前的值保持一樣。對于 ，，因此，干預后的概率分布可以表示為（截斷因式分解）：

4.3.1 Example

以最簡單的有 confounder 存在的因果圖為例，聯合概率分布可以表示為：

對 T 進行干預后，，則：

y 的邊緣概率分布為：

通過比較干預分布和正常的條件概率分布的差別，可以更深刻地理解為什么“關聯不是因果”

可以看到，Eq(2) 和 Eq(1) 的差別在于一個是  一個是。將這個例子更簡化一些，假設 T 是一個二值的變量，我們想計算 ATE。因為  就是 potentialoutcome  的概率分布，因此可以通過求期望得到 ，同理得到 ，因此平均因果效應 ATE 就可以寫成：      

如果將 Eq(1) 代入，則 ATE 可以完全寫成概率的形式，表達式中不包括 do，可以通過觀察數據得到，這樣 ATE 就是 identified。我們在下一小節會更形式化的描述這一過程。

4.4 后門調整

4.4.1 后門路徑

以上圖為例，回顧第三章，從 T 到 Y 存在兩種 association，其中一種是  的因果關聯，另一種是  和  的非因果關聯，也稱這兩條路徑是 unblocked（因為都是叉結構，且沒有 condition on）。后門路徑的含義就是，如果一條從 T 到 Y 的路徑是 unblocked，且有指向 T 的邊（即  ），則稱這條路徑是后門路徑。為什么叫后門呢，因為本身這條路徑是沒有從 T 到 Y 的有向邊的，但是因為有一條指向 T 的邊，相當于進入了 T 的后門，這條路徑就被打通了。

此時如果我們對 T 干預，則任何指向 T 的邊都會被去掉，后門路徑就被阻斷了，T和 Y 之間就只剩因果關聯了。
如果 condition on W1， W2， W3 和 C，同樣也會阻斷后門路徑。

4.4.2 后門準則，后門調整
如果我們想將  完全寫成概率的形式，則需要假設 W 滿足后門準則。

對于 T 和 Y，如果下面條件為 True 的話，變量集合 W 則滿足后門準則：

1. condition on W 可以阻斷 T 和 Y 之間的所有后門路徑
   

2. W 不包括 T 的所有子孫節點

將 W 引入到  中，可以得到

為什么 ，可以這樣想一下。 對應的圖中，因為對 T 進行干預，所有指向 T 的邊都被刪掉，因此，所有的后門路徑都被 block 了，T 和 Y 之間只有沿著  的有向路徑有關聯流（因果關系）。在  對應的圖中，因為 condition on W，所有后門路徑也沒 block了，T 和 Y 之間也只有沿著有向路徑的關聯流。在這兩種情況中，關聯流只沿著有向路徑流動，因此對應著相同的條件概率分布。 
因為沒有指向 T 的邊，T 沒法對 W 造成影響，所以 ，因此上式可以繼續寫成：

這就是后門調整公式。

4.4.3 Relation to Potential Outcomes

還記得第二章介紹過的調整公式嗎：

既然都叫調整公式，后門調整和 Eq(3) 有什么聯系嗎？對干預后的 Y 求期望：

把 T=1 和 T=0 代入得：

可以看到 eq(4) 和 eq(3) 是相等的， 是 potential outcome  的另一種表示形式。當然，eq(3) 成立也有個前提是 conditional exchangeability：

4.5 結構因果模型

本節我們將從因果圖模型轉到結構因果模型。相比于比較直觀的圖模型，結構因果模型可以更詳細清晰的解釋什么是干預和因果機制。

4.5.1 結構等式

Judea Pearls 說過，數學中的“=”不包含任何因果信息， 和  表示的都是同一個意思，“=”是對稱的。但是為了表達因果，需要有一個非對稱的符號。如果 A 是 B 的原因，那么改變 A 一定會改變 B，但是反之不成立，我們可以用結構等式 structural equation 來表示：

這里將“=”替換成”:=“。但是，B 和 A 之間的映射是確定性的。理想情況下，我們希望它是概率性的，為一些未知因素留出空間。因此可以寫成下面這樣：

其中，U 是為觀察到的隨機變量，在圖中用虛線表示，未觀察到的 U 類似于我們通過抽樣個體看到的隨機性；它表示確定 B 的所有相關（嘈雜）背景條件。f 的函數形式不需要指定，當不指定時，我們處于非參數狀態，因為我們沒有對參數形式做出任何假設。雖然映射是確定性的，但由于它以隨機變量 U（“噪聲”或“背景條件”變量）作為輸入，它可以表示任何隨機映射，因此結構方程是  的推廣形式。因此，當我們引入結構方程后，截斷分解和后門調整仍然成立。

有了結構等式后，我們可以更詳細的定義原因和因果機制。生成變量的因果機制是與該變量相對應的結構方程。例如，生成 B 的因果機制是 Eq(5)。類似的，如果 X 出現在結構等式的右邊，則 X 是 Y 的直接原因。

圖 4.8 更復雜的結構等式如下：

在因果圖中，噪聲變量通常是隱式的（虛線），而不是明確繪制的。我們寫結構方程時已知的變量稱為內生（endogenous）變量， 這些是我們正在建模因果機制的變量 - 在因果圖中具有父母的變量。相反，外生（exogenous）變量是因果圖中沒有任何父母的變量。這些變量是我們因果模型外部的，因為我們沒有為其建模因果機制。例如，在圖 4.8 描述的因果模型中，內生變量為 。外源變量為 。
結構因果模型 SCM 定義如下，包含一組內生變量，一組外生變量，一組生成內生變量的函數：

4.5.2 干預

從 SCM 的角度來描述干預會非常簡單。對 T 進行干預  相當于將 T 的結構等式替換成 。例如，圖 4.9 對應的 SCM 為：

如果對 T 干預，讓其等于 t，那么干預后的 SCM 則為：

可以發現，除了 T 本身的結構等式，其他的等式都保持不變。這也是由模塊化假設決定的。

換句話說，干預操作是 localized。通過模塊化假設，可以引出 Pearl 所說的反事實準則。回顧下第二章潛在結果的概念， 指的是當 treatment=t 時個體 i 的潛在結果。這里我們換另一種記號表示，，其中 u 等價于 i。根據定義 4.3，反事實準則指的就是干預之前 treatment=t 的潛在結果與干預之后  的潛在結果相等。

參考文獻

[1] Brady Neal, Introduction to Causal Inference from a Machine Learning Perspective, 2020