因果推斷入門：為什么需要因果推斷？（3）

我猜看這系列文章的朋友對圖 Graph 的概念已經再熟悉不過了，這里就不費口舌細說了。圖是由節點 node 和邊 edge 組成的一個數據結構，下面放幾張普通類型圖的示例：

因果圖模型的許多工作是在概率圖模型的基礎上完成的。要了解因果圖首先要了解一下什么是概率圖模型，雖然兩者有著很大差別。貝葉斯網絡是最主要的概率圖形模型，因果圖模型（因果貝葉斯網絡）繼承了它們的大部分屬性。
聯合概率分布可以通過 chain rule 寫成如下形式：

如果直接對上面公式建模的話，參數數量會爆炸。

如果  只依賴依賴  的話，沒必要condition on所有的變量，即  可以寫成 。我們可以用 graph 表示變量之間的依賴關系，這個 graph 就叫做貝葉斯網絡。一般而言，貝葉斯網絡的有向無環圖 DAG 中的節點表示隨機變量，它們可以是可觀察到的變量，抑或是隱變量、未知參數等。
給定 DAG，怎么計算所有變量的聯合概率分布呢，需要用到下面的假設，即X節點只和它的父節點有關，和其他節點無關：


這樣，圖 3.6 的聯合概率分布就可以寫成下面形式：



3.3 因果圖
上一節是關于統計模型和關聯建模的。在本節中，我們將用因果假設來增強這些模型，把它們變成因果模型，使我們能夠研究因果關系。為了引入因果假設，我們必須首先理解 “什么是原因 cause”。

根據上面的定義，如果變量 Y 能隨著 X 的變化而變化，則稱 X 是 Y 的原因。然后給出貫穿全書的（嚴格）因果假設 3.3，在有向圖中，每個節點都是其子節點的直接原因。X 是 Y 的父節點，X 就是 Y 的直接原因，X 的原因（X 的父節點）也是Y的原因，但是是間接原因。

如果我們把 Y 的所有直接原因 ?x，那么改變 Y 的任何其他原因都不會引起 Y 的任何變化。因為 cause 的定義（De?nition 3.2）意味著 cause 和它的 e?ect 是相關的，而且因為我們假設所有的父節點都是他們子節點的原因，所以因果圖中父節點和子節點是相關的。
非嚴格因果關系假設將允許一些父節點不是其子節點的原因，但不常見。除非另有說明，在本書中，我們將用“因果圖”來指滿足嚴格因果邊假設的 DAG，省略“嚴格”一詞。
總結一下，DAG 有向無環圖是 graph 的一種特殊形式，貝葉斯網絡和因果圖都是用 DAG 表示的，但是兩者的含義不一樣，貝葉斯網絡表達的是變量之間的依賴關系，而因果圖表達的是變量之間的因果關系。由于表示因果關系的邊也暗含著兩個變量之間有關聯，因此，DAG 里既有因果關系也有關聯關系，這也對應本章的題目。

現在我們已經了解了基本的假設和定義，我們可以進入本章的核心：DAG 中的關聯和因果關系。首先我從構成 DAG 的基本結構入手。這些最小的構建塊包括 chain 鏈（圖 3.9a）、fork 叉子（圖 3.9b）、immoralities 對撞（圖 3.9c）、兩個未連接的節點（圖 3.10）和兩個連接的節點（圖 3.11）。其示意圖分別如下所示


在一個由兩個未連邊的節點組成的 graph 中（圖3.10）， 和  肯定是獨立的 independent、無關聯的 unassociated。
相反，如果兩個節點之間有邊（圖3.11），那么一定是 associated 的。這里用到的是 Assumption 3.3：由于 x1 是 x2 的原因，x2 必須能夠對 x1 的變化做出反應，所以 x2 和 x1是關聯的。一般來說，如果兩個節點在因果圖中是相鄰的，它們都是相關的。

把鏈 chain 和叉子 fork 放在一節介紹是因為它倆的特性是一樣。

相關性：
在 chain 中，x1 是 x2 的原因，x2 是 x3 的原因，那么 x1 和 x2 是相關的，x2，x3 是相關的，x1 和 x3 也是相關的。
在 fork 中，x2 是 x1 和 x3 的共因，x1 和 x3 也是相關的。這個可能有點反直覺，x1，x3 之間明明沒有邊，為啥也是有關聯的呢？舉個例子：溫度升高會導致冰淇淋銷量上升，同時也會使犯罪率上升，從冰淇淋銷量和犯罪率的數據上來看，他們有著相同的趨勢，因此是相關的，盡管他們之間并沒有因果關系。
關聯流 associate flow 是對稱的，x1 和 x3 相關，x3 也和 x1 相關，即圖中紅色虛線部分。而因果流是非對稱的，只能沿著有向邊流動，即 x1 是 x3 的原因，x3 不是 x1 的原因。
獨立性：
chain 和 fork 也有著相同的獨立性。如果我們把 x2 固定住，即 condition on x2，那么 x1 和 x3 的相關性就會被阻斷 block，變的獨立。

在 chain中，如果把 x2 固定成一個定值，x1 做任何改變，都不會影響 x2 的變換，因為已經被固定了，那么 x3 也不會發生變化，因此 x1，x3 變的獨立。
Proof：
chain 的聯合概率分布如下：

然后，condition on x2, 利用 Bayes rule 得到：

再次利用 Bayes rule ，得到：

由此得出結論  。

首先引入 blocked path 的概念，給定條件集合 Z，Z 里面的變量都是固定住值的，如果存在一條路徑滿足以下兩種情況之一，這就是一條 blocked path：

• 這條路徑存在 chain（）或者存在 fork（），且 condition on W（）
• 這條路徑存在一個 collider W（  ），并且并且 W 的所有后代節點也不固定（）

同理，unblocked path 的定義與 block path 相反。blocked path 中不存在從 X 到 Y 的 association flow，被 block 掉了。unblocked path 中存在從 X 到 Y 的 association flow。
下面給出 d-分離的概念：

在給定集合 Z 的條件下，如果 X 和 Y 中的任意兩個節點之間的路徑都被 block，那么就說 X 和 Y被 Z d-分離。zhiyao 存在一條路徑是 unblock 的，則說 X 和 Y 被 Z d-連通。如果 X 和 Y 被 Z d-分離，可以得到 X 和 Y 在給定 Z 時一定是獨立的。 表示 d 分離， 表示獨立。

小練習：

判斷下面幾種情況是否是 d-分離

1. Are T and Y d-separated by the empty set?

No

2. Are T and Y d-separated by W2?

No

3. Are T and Y d-separated by {W2 , M1 }?

Yes

4. Are T and Y d-separated by {W1 , M2 }?

Yes

5. Are T and Y d-separated by {W1 , M2 ,X2}?

No

最后，總結下圖上的因果流和關聯流。關聯流沿著 unblock path 流動，因果流沿著有向邊流動。我們將沿著有向邊的關聯流稱作因果關聯 causal association。總體的 association 包括 causal association 和 non-causal association。一個典型的非因果關聯的例子是 confounding association。
常見的貝葉斯網絡是純粹的統計模型，所以我們只談論貝葉斯網絡中的關聯流動。不過，關聯在貝葉斯網絡中的流動方式與在因果圖中的流動方式完全相同，關聯都是沿著鏈和叉子流動的，除非 condition on 中間節點，而 collider 會阻止關聯的流動，除非 condition on collider。我們可以通過兩個節點是否被 d-分離來判斷它們是否有關聯（兩者之間有關聯流）。
因果圖的特殊之處在于，我們還假設邊具有因果意義（因果邊假設，假設 3.3）。這個假設將因果關系引入我們的模型，它使一種類型的路徑具有全新的意義：有向路徑。這個假設賦予了有向路徑獨特的作用，即沿著它們蘊含因果關系。此外，這個假設是不對稱的；“X 是 Y 的原因”和“Y 是 X 的原因”是不一樣的。這意味著關聯和因果關系之間有一個重要的區別：關聯是對稱的，而因果關系是不對稱的。