基于極零點靈敏度的模擬電路可測性分析

　　引言

　　基于極零點靈敏度的分析方法與基于頻域的靈敏度分析不同，不需要計算頻域任意范圍內的每一點的靈敏度，同時克服了分析幅頻特性和相頻特性的問題。其特點決定其在模擬電路分析和測試中有極大的應用空間。

　　模擬電路的測試設計在模擬電路設計成本中占據了極大的比例。與數字電路不同，模擬電路有大量的性能指標和電路參數，而且性能指標與參數之間又沒有直接的線性關系，同時，性能指標和參數與系統的時域響應之問也不存在一一對應的關系。因此，即使是簡單的電路，要確定其測試的方法和參數，也是一個相當復雜的問題。其中，一個重要的問題是，怎樣確定可測量的參數和測量點，即可測性[1-3]。

　　在狀態方程中，系統的可觀測性為系統測試提供了很好的判斷依據。然而，它只提供狀態可測性，而系統的狀態往往少于系統元件數量。因而，由狀態方程不能確定電路的所有元件的可測性。

　　模擬電路的極零點對電路性能參數有極大的影響，特別是不同測試點對應的傳遞函數往往具有不同的零點。因而，電路極零點靈敏度可以用于電路可測性分析。

　　1 極零點靈敏度計算

　　設模擬電路的系統函數為H(s，h)，h為與該網絡某元件有關的參數，它可以是元件值，或是影響元件值的一些物理量。當參數h在標稱值h0附加有微小變化△h=h-h0時[4]，將H(s，h)在h0附近用泰勒級數展開，并忽略高次項，得到由△h引起的偏差為：

　　由此得到系統函數H(s，h)相對于參數h的未歸一化靈敏度為：

　　網絡函數H(s，h)相對于參數^的歸一化靈敏度(簡稱靈敏度)為：

　　系統函數的一般形式為[5]：

　　將傳遞函數的分子和分母進行因式分解，得到如下形式：

　　式中：zi和pi分別是系統的零點和極點。

　　1.1 零點靈敏度

　　在系統零點zi處，與復頻域s和參數h相關的系統函數H(s)等于0，即

　　參數h被視為獨立變量，zi為非獨立變量。基于鏈式規則，對式(6)求微分得到：

　　零點的靈敏度為：

　　1.2 極點靈敏度

　　由于系統矩陣在極點pi處變成奇異的，極點靈敏度不能像零點靈敏度一樣計算。系統矩陣Y分解為下、上三角矩陣Y=LU。對應于參數h的微分得到：

　　將式(9)左乘X和右乘X的伴隨矩陣(Xa)t，得到標量方程：

　　矢量定義為下式的解：

　　將上兩式代入式(10)，得到：

　　L是下三角矩陣，乘積(?L/?h)』。變為一個矢量，

　　其元素除最后一個為διnn/δh外，都為0，即(δL/δh)，In=(διnn/δh)In。該矢量左乘(Xa)t，乘積中只有其最后一個元素Xan=1出現。而當U為上三角矩陣且unn=l時，δU/δh將變為零矢量。由上述步驟得到：

　　這是計算極點靈敏度的基本方程。將式(12)代人式(3)，極點pi的靈敏度變為：

　　式(13)與式(8)類似。

　　通常，極零點靈敏度由規范化方式表示：

　　如果極點用實部和虛部給出，p=σ+jω，規范化靈敏度變為：

　　基于極零點靈敏度，也可以計算Q因子和極點頻率靈敏度。

　　2　可測性度量

　　可測性度量定義為在電路拓撲結構和給定的測試點條件下，被測電路可解性度量的數量信息。因此，可測性度量可以衡量在某種測試條件下可由測試數據確定的電路元素的數目。顯然，這是一種重要的參數。

　　被測電路的傳遞函數可以寫成分解形式為：

　　式中：傳遞函數的直流增益K0，極點pi和零點zι是電路元素hi的函數;i=1，2，…，k;k是電路元素的數量，假定系統函數的極零點互異(它們都不相同)。

　　基于式(16)的可測性分為3個部分：

　　a)僅僅依賴于傳遞函數的極點，即僅僅依賴于電路拓撲結構，而與輸入信號和電路(測試)節點無關。稱這一部分可測性度量為Tp。可測性TP由下式給出：

　　式中：n為傳遞函數極點的數量。

　　傳遞函數極點數與電路的階次相同，由下式給出：

　　式中：nLC為儲能元件的總數;nC為獨立電容環路的總數;nL為獨立電感割集的總數。

　　b)依賴于傳遞函數的零點，稱這一部分可測性度量為TZ，由下式給出：

　　式中，m為零點的數量。

　　c)依賴于傳遞函數的直流增益K0=a0/b0(s→0)，稱為Tk0：

　　如果直流增益是電路元素的函數，則c=1，否則，c=0。c的值可以使用直流靈敏度計算。如果某一電路節點的直流靈敏度不等于0，則c=1，否則c=0。

　　被測電路在一個節點的總的可測性度量Tt等于3個可測性度量的和，即

　　式(21)表明：被測電路在某一點的町測性度量依賴于該點的極點數目、零點數目和直流增益K0。

　　如果節點不止一個，可測性度量由下式給出：

　　式中：n為極點的數量;m1，m2，…，mt分別為節點1，2，…，ι的零點;c1，c2，…，ct分別為節點1，2，…，ι的直流增益;ι為電路節點的數目。

　　可測性可以用于指導測試節點選擇。如果電路元素的數日等于極點數日和零點數目加1，就得到了最大可測性度量(所有電路元素都可識別)。如果電路有e個元件，在節點i處的可測性度量為Tt=r(r<e)，這樣僅有r個元素可以識別，而e-r個元素必須假定無故障(低可測性電路)。
在節點i處的可測性度量為Tt=r(r<e)，這樣僅有r個元素可以識別，而e-r個元素必須假定無故障(低可測性電路)。

　　3 極零點靈敏度分析實例

　　為了描述基于極零點分析的可測性度量，作為一個例子，現給出如圖1所示的3-RC梯形電路。

　　基于改進節點分析，電路的系統方程可以寫為：

　　在電路節點4、節點3、節點2(V1=Vi，V4=V0)的傳遞函數為：

　　由此可以得到傳遞函數的極點為：p1=-1981，p2=-1 555，p3=-3 247;在節點2，傳遞函數的零點為：z1=-382，z2=-2 618;在節點3，傳遞函數的零點為：z3=-1 000。相應的極零點靈敏度見表1。

　　由于直流增益與元件的取值無關(電容不能短路)，因而Tk0=0。

　　由表1可知，Tp=3;在節點4，Tzm1=0;在節點3，Tzm2=1;在節點2，Tzm3=2。進一步分析可以發現：在節點4，Tt=3;在節點4和3處，Tt=4;在節點4和2處，Tt=5;在節點3和2處，Tt=6;在節點4、3和2處，Tt=6。也就是說，要能測試6個元素，至少必須選擇節點3和2為測試點。

　　4 結束語

　　基于極零點靈敏度的可測性分析，為建立電路測試模型、確定測試點、分析測試方法提供了極大的方便。特別是當模擬和混合電路有大量的性能指標，在如何利用這些性能指標來實現測試時，顯得尤為突出。