深入淺出的學(xué)習(xí)傅里葉變換

　　學(xué)習(xí)傅里葉變換需要面對(duì)大量的數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)功底較差的同學(xué)聽到傅里葉變換就頭疼。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)功底好的數(shù)字信號(hào)處理專業(yè)的同學(xué)也不一定理解傅里葉變換的真實(shí)含義，不能做到學(xué)以致用!

　　事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)非常成熟，有現(xiàn)成函數(shù)可以調(diào)用。對(duì)于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

　　本文試圖不用一個(gè)數(shù)學(xué)公式，采用較為通俗的語言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

　　一偉大的傅里葉、偉大的爭(zhēng)議!

　　1807年，39歲的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉于法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上展示了一篇論文(此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表)，論文中有個(gè)在當(dāng)時(shí)極具爭(zhēng)議的論斷：“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成”。

　　這篇論文，引起了法國(guó)另外兩位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注!

　　58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀點(diǎn)。

　　71歲的拉格朗日(貌似現(xiàn)在的院士，不用退休)則反對(duì)，反對(duì)的理由是“正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

　　之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對(duì)的!

　　有限數(shù)量的正弦曲線的確無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，然而，無限數(shù)量的正弦曲線的組合從能量的角度可以非常無限逼近帶有棱角的信號(hào)。

　　二傅里葉變換的定義

　　后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴(kuò)展：滿足一定條件的函數(shù)可以表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們的積分的線性組合。如何得到這個(gè)線性組合呢?這就需要傅里葉變換。

　　一定條件是什么呢?

　　這是數(shù)學(xué)家研究的問題，對(duì)于大多數(shù)搞電參量測(cè)量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問題，因?yàn)椋妳⒘繙y(cè)量中遇到的周期信號(hào)，都滿足這個(gè)條件。

　　這樣，在電參量測(cè)量分析中，我們可以用更通俗的話來描述傅里葉變換：

　　任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

　　并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規(guī)律：是某個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)頻率，就稱為基波頻率，而其它頻率稱為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

　　三傅里葉變換的意義

　　1為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢?

　　傅里葉變換是描述信號(hào)的需要。

　　只要能反映信號(hào)的特征，描述方法越簡(jiǎn)單越好!

　　信號(hào)特征可以用特征值進(jìn)行量化。

　　所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數(shù)值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。

　　比如說：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述;方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述(單個(gè)周期信號(hào)不考慮相位)。

　　上述特征值，我們可以通過示波器觀測(cè)實(shí)時(shí)波形獲取，稱為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習(xí)慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號(hào)時(shí)，一定會(huì)說：“讓我看看波形!”

　　可是，除了一些常見的規(guī)則信號(hào)，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白!

　　復(fù)雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎?

　　我們能看到的僅僅是一個(gè)類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規(guī)律變化。

　　如何記載這個(gè)波形的信息呢?尤其是量化的記載!

　　很難!

　　事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz(三相異步電動(dòng)機(jī)疊頻溫升試驗(yàn)時(shí)的電流波形)。