控制系統的數學模型

信號流圖 信號流圖，是一種表示一組聯立線性代數方程的圖。當將信號流圖法應用于控制系統時，首先必須將線性微分方程變換為以s為變量的代數方程。

信號流圖是由網絡組成的，網絡中各節點用定向支線段連接。每一個節點表示一個系統變量，而每兩節點之間的聯結支路相當于信號乘法器。應當指出，信號只能單向流通。信號流的方向由支路上的箭頭表示，而乘法因子則標在支路線上。信號流圖描繪了信號從系統中的一點流向另一點的情況，并且表明了各信號之間的關系。

正如所料，信號流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息。用信號流圖表示控制系統的優點，可以應用所謂梅遜增益公式。根據該公式，不必對信號流圖進行簡化，就可以得到系統中各變量之間的關系。

定義 在討論信號流圖之前，首先必須定義如下一些術語：

節點，節點用來表示變量或信號的點。
傳輸，兩個節點之間的增益叫傳輸。
支路，支路是連接兩個節點的定向線段。支路的增益為傳輸。
輸出節點或源點，只有輸出支路的節點，叫輸出節點或源點。它對應于自變量。
輸入節點或阱點，只有輸入支路的節點，叫輸入節點或阱點。它對應于因變量。
混合節點，既有輸入支路，又有輸出支路的節點，叫混合節點。
通道，沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，叫通道。如果通道與任一節點相交不多于一次，就叫做開通道。如果通道的終點就是通道的起點，并且與任何其它節點相交不多于一次，就叫做閉通道。如果通道通過某一節點多于一次，但是終點與起點在不同的節點上，那么這個通道既不是開通道，又不是閉通道。
回路，回路就是閉通道。
回路增益，回路中各支路傳輸的乘積，叫回路增益。
不接觸回路，如果一些回路沒有任何公共節點，就把它們叫做不接觸回路。
前向通道，如果從輸出節點（源點）到輸入節點（阱點）的通道上，通過任何節點不多于一次，則該通道叫做前向通道。
前向通道增益，前向通道中，各支路傳輸的乘積，叫前向通道增益。

圖2-9表示了節點、支路和支路傳輸。

信號流圖的性質 下面介紹一些信號流圖的重要性質。

1． 支路表示了一個信號對另一個信號的函數關系。信號只能沿著支路上的箭頭方向通過。
2． 節點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有支路。
3． 具有輸入和輸出支路的混合節點，通過增加一個具有單位傳輸的支路，可以把它變成輸出節點來處理。（見圖2-9,注意，具有單位傳輸的支路從x3指向另一個節點，后者也以x3表示。）當然，應當指出，用這種方法不能將混合節點改變為源點。
4． 對于給定的系統，信號流圖不是唯一的。由于同一系統的方程可以寫成不同的形式，所以對于給定的系統，可以畫出許多種不同的信號流圖。

信號流圖代數 根據前面的定義，可以畫出線性系統的信號流圖。這樣做時，通常將輸出節點（源點）放在左面，而輸入節點（阱點）放在右面。方程式的自變量和因變量，分別變為輸出節點（源點）和輸入節點（阱點）。支路的傳輸可由方程的系數得到。

為了確定輸入-輸出關系，可以采用梅遜公式。這個公式后面將要介紹。也可以將信號流圖簡化成只包含輸出和輸入節點的形式。為了進行這種簡化，需采用下列規則：

1． 如圖2-10(a)所示，只有一個輸出支路的節點的值為x2=ax1。
2． 串聯支路的總傳輸，等于所有支路傳輸的乘積。因此，通過傳輸相乘，可以將串聯支路合并為單一支路，如圖2-10(b)所示。
3． 通過傳輸相加，可以將并聯支路合并為單一支路，如圖2-10(c)所示。
4． 混合節點可以消掉，如圖2-10(d)所示。
5． 回路可以消掉，如圖2-10(e)所示。

梅遜公式 用梅遜公式可以直接求信號流圖的傳輸。表示為

（2-18）

式中,Pk=第k條前向通道的通道增益或傳輸；

Δ=流圖的特征式
=1-（所有不同回路的增益之和）+（每兩個互不接觸回路增益乘積之和）
-（每三個互不接觸回路增益乘積之和）+…

Δk=在除去與第k條前向通道相接觸的回路的流圖中，第k條前向通道特征式的余因子。

總之，熟悉了梅遜公式之后，根據它去求解系統的傳輸，遠比用方塊圖變換方法簡便有效，對于復雜的多環系統和多輸入、多輸出系統尤其明顯。因此，信號流圖得到了廣泛的實際應用，并常用于控制系統的計算機輔助設計。

例2-4 將圖2-11所示的系統方框圖化為信號流圖之。求系統傳遞函數C(s)/R(s)。

在這個系統中，輸入量R(s)和輸出量C(s)之間，只有一條前向通道。前向通道的增益為
P1=G1G2G3
從圖2-12可以看出，這里有三個單獨的回路。這些回路的增益為

L1=G1G2H1
L2=-G2G3H2
L3=-G1G2G3

應當指出，因為所有三個回路具有一條公共支路，所以這里沒有不接觸的回路。因此，特征式Δ為
Δ=1-（L1+L2+L3）
=1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
沿聯接輸入節點和輸出節點的前向通道，特征式的作因子Δ1，可以通過除去與該通道接觸的回路的方法而得到。因為通道P1與三個回路都接觸，所以得到
Δ1=1
因此，輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益，或閉環傳遞函數為

這與通過方塊圖簡化所得到的閉環傳遞函數完全相同。這樣，利用梅遜公式，不必對流圖進行簡化，就能夠求得總增益C(s)/R(s)。

例2-5 根據梅遜公式求圖2-13的信號流圖的總傳輸。

解 此系統有六個回環，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此

兩個互不接觸的回環有七種組合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以

三個互不接觸的回環只有ab、ef和ij，故

由此可求特征式

從源點到阱點有兩條前向通道。一條為acegi，它與所有的回環均有接觸，因此
P1=acegi
Δ1=1

另一條前向通道為kgi它不與回環cd接觸，所以
P2=kgi
Δ2=1-cd

將以上結果代入式（2-18），可得總傳輸

例2-6 已知RC電路如圖2-14所示，請畫出其結構圖。

解：根據電路的特性，由圖可知

中間回路：

(2-21）

由（2-19）式知：

(2-22）

由（2-21）式知：

(2-23）

由（2-20）式知：

(2-24）

則由（2-22）、（2-23）、（2-24）式求出結構圖如下：

在這一類系統結構圖的求解過程中，需要注意的是，其解不是唯一的。

2.7.1 狀態、狀態變量及狀態空間方程

這里介紹有關狀態、狀態變量及狀態空間方程等的基本概念。

1． 狀態 動態系統的狀態是系統的最小一組變量（稱為狀態變量），只要知道了在t=t0時的一組變量和t3t0時的輸入量，就能夠完全確定系統在任何t3t0時刻的行為。
2． 狀態變量 動態系統的狀態變量是確定動態系統狀態的最小一組變量。如果至少需要n個變量x1，x2，××× ，xn才能完全描述動態系統的行為（即一旦給出t3t0時的輸入量，并且給定t=t0時的初始狀態，就可以完全確定系統的未來狀態），則這個變量就是一組狀態變量。
3． 狀態向量 如果完全描述一個給定系統的行為需要n個狀態變量，那么這n個狀態變量可以看作是向量X的n個分量，該向量就稱為狀態向量。因此，狀態向量也是一種向量，一旦t=t0時的狀態給定，并且給出t3t0時的輸入量U(t)，則任意時間t3t0時的系統狀態X(t)便可以唯一地確定。
4． 狀態空間 由x1軸，x2軸，××× ，xn軸所組成的n維空間稱為狀態空間。任何狀態都可以用狀態空間中的一點來表示。
5． 狀態方程 用狀態變量描述系統的動態方程。

2-A1 狀態空間模型的概念說明

已知系統

其狀態方程可以用下列方程描述：

(2-25)

由上式可知，如果已知uc(t)和i(t)的初始值，以及在t3t0時的外加輸入信號，就能夠完全唯一地確定在t3t0時的任何時間的系統狀態。狀態方程也可以寫成矩陣方程的形式。例如：

(2-26)

通常，用x表示狀態矢量，用x1，x2，... 表示其分量。對于上式，如令

式（2-26）又可寫為

(2-27)

此處其輸出方程為

(2-28)

此處

需要指出的是，從理論上講，描述系統狀態的狀態變量的選擇不是唯一的，可以有無窮多個解。

2.7.2 線性定常控制系統的狀態方程描述

本教材研究對象主要為線性定常系統，這里簡單介紹一下線性定常系統的狀態方程：

1． 單輸入單輸出線性定常系統狀態方程

(2-29)

式中y為輸出量，x為輸入量，a1、a2、...、an和bn為常系數。

當令

此時，可將式（2-29）改寫為n個一階微分方程，即

或用矩陣方程表示：

上式可簡寫為

式中

系統的輸出方程為

2． 多變量線性定常系統狀態方程

推廣到多變量線性定常系統的一般情況，此時的系統傳遞函數可表示為：

式中 i=1，2，...，n；j=1，2，...，m。可用矩陣方程表示為：

此處

2.7.3線性定常系統狀態空間表達式的結構圖和信號流圖

系統的狀態方程和輸出方程也可以用結構圖的方式表達出來，它形象地說明了系統輸入、輸出和系統狀態之間的信息傳遞關系。在采用模擬計算機對系統仿真時，它更是一個得力的工具。圖2- 16所示為n維線性定常系統的結構圖。

同樣，也可以畫出n維線性定常系統的信號流圖（見圖2-17所示）。

圖2-17 n維線性系統的信號流圖

下面仔細分析一下單輸入單輸出系統的傳遞函數與狀態空間之間的關系：
設所要研究系統的傳遞函數為：

該系統在狀態空間中可以用下列方程表示：

(2-30)

(2-31)

式中X為狀態向量，u為輸入量，y為輸出量。則當滿足零初始條件時，式（2-30）及（2-31）的拉普拉斯變換為：

用(sI-A)-1左乘式（2-32）等號兩邊，得到：
X(s)=(sI-A)-1BU(s) (2-34)
把方程（2-34）代入（2-33），得到

(2-35)

由方程（3-35）可以看出

這就是以A、B、C和D的形式表示的傳遞函數。應該指出，傳遞函數矩陣具有不變性，亦即，對狀態方程進行線性變換后，其對應的傳遞函數矩陣應該不變，從而保證了所描述系統的輸入-輸出特性不變。

2.8.1連續系統數學模型的MATLAB表示

1． 傳遞函數模型

當：

則在MATLAB中，直接用分子/分母的系數表示，即
num=[b0，b1，…，bm]；
den = [a0，a1，…，an]；

例2-7 用MATLAB表示傳遞函數為 的系統。

解：在MATLAB環境下輸入
ng=[1 1]; dg=[1 3 2];
printsys(ng,dg) %此處printsys命令是傳遞函數顯示命令。

則執行后得到如下結果：

2． 零極點增益模型

當：

時

則在MATLAB中，用[z，p，k]矢量組表示，即
z=[z0，z1，…，zm]；
p=[p0，p1，…，pn]；
k=[k]；

例2-8 用MATLAB表示傳遞函數為 的系統。

解：在MATLAB環境下輸入
z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;
[num,den]=zp2tf[z,p,k];
printsys(num,den) %此處printsys命令是傳遞函數顯示命令。
則執行后得到如下結果：

3． 狀態空間模型

當：

時

則在MATLAB中，該控制系統可用（a，b，c，d）矩陣組表示。

4． 傳遞函數的部分分式展開

當：

時

在MATLAB中直接用分子/分母的系數表示時有
num=[b0，b1，…，bm]；
den = [a0，a1，…，an]；
則命令
[r,p,k] = residue(num,den)
將求出兩個多項式Y(s)和X(s)之比的部分分式展開的留數、極點和直接項。Y(s)/X(s)的部分分式展開由下式給出：

例2-A2 考慮下列傳遞函數：

命令 [r,p,k] = residue(num,den)
將給出下列結果：

[r,p,k]=residue(num,den)
r=
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2

留數為列向量r，極點位置為列向量p，直接項是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展開的MATLAB表達形式：

命令
[num,den] = residue(r,p,k)

執行后得到如下結果：

[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den=
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

2.8.2離散系統數學模型的MATLAB表示

1． 傳遞函數模型：

2． 零極點增益模型：

3． 狀態空間模型：

2.8.3模型之間的轉換

同一個控制系統都可用上述三種不同的模型表示，為分析系統的特性，有必要在三種模型之間進行轉換。MATLAB的信號處理和控制系統工具箱中，都提供了模型變換的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它們的關系可用圖2-17所示的結構來表示。

圖2-18 三種模型之間的轉換

說明：

ss2tf命令：將狀態空間模型轉換成傳遞函數模型。
格式為：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
式中，iu為輸入的序號。轉換公式為

ss2zp命令：將狀態空間模型轉換成零極點增益模型。
格式為：[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)
式中，iu為輸入的序號。

tf2ss命令：將傳遞函數模型轉換成狀態空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

tf2zp命令：將傳遞函數模型轉換成零極點增益模型。
格式為：[Z, P, K]=tf2zp(num, den)

zp2ss命令：將零極點模型轉換成狀態空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)

zp2tf命令：將零極點模型轉換成傳遞函數模型。
格式為：[num, den]=zp2tf(Z, P, K)

2.8.4控制系統建模

對簡單系統的建模可直接采用三種基本模型：傳遞函數、零極點增益、狀態空間模型。但實際中經常遇到幾個簡單系統組合成一個復雜系統。常見形式有：并聯、串聯、閉環及反饋等連接。

1． 并聯：將兩個系統按并聯方式連接，在MATLAB中可用parallel函數實現。命令格式為：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其對應的結果為：Gp(s)=G1(s)+G2(s)

2． 串聯：將兩個系統按串聯方式連接，在MATLAB中可用series函數實現。命令格式為：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其對應的結果為：Gs(s)=G1(s)+G2(s)

3． 閉環：將系統通過正負反饋連接成閉環系統，在MATLAB中可用feedback函數實現。命令格式為：[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) sign為可選參數，sign=-1為負反饋，而sign=1對應為正反饋。缺省值為負反饋。其對應的結果為：

4． 單位反饋：將兩個系統按反饋方式連接成閉環系統（對應于單位反饋系統），在MATLAB中可用cloop函數實現。命令格式為：[numc, denc] = cloop(num, den, sign) sign為可選參數，sign=-1為負反饋，而sign=1對應為正反饋。缺省值為負反饋。其對應的結果為：