巧找線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的“七寸”

　　在電子電路設(shè)計過程中，負(fù)反饋的引入讓系統(tǒng)變的更加“聽話”，然而，在使用負(fù)反饋的過程中，也有潛在的不穩(wěn)定性：當(dāng)設(shè)計的系統(tǒng)滿足一定條件時，設(shè)計的系統(tǒng)就會變得不那么“聽話”，甚至變得振蕩起來。為了找到負(fù)反饋線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文對關(guān)鍵點進(jìn)行剖析。

　　為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要知道兩個概念：增益交點和相位交點。所謂增益交點，顧名思義，就是使環(huán)路增益為1的頻率點;相位交點是使環(huán)路增益的相位為-180°的頻率點。這兩個頻率點在保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性中，起到重要的作用。在穩(wěn)定的系統(tǒng)中，增益交點通要比相位交點靠前：

　　在圖1中，增益交點在相位交點之前，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，這樣的系統(tǒng)變得穩(wěn)定，而圖2中增益交點在相位交點之后，則系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定。

　　為什么這么說呢?因為這就是非常著名的“巴克豪森判據(jù)”(Barkhausen’s Criteria)。因此，負(fù)反饋的引入就是為了克服這樣兩個因素。

　　由此可以看出，一個系統(tǒng)的波特圖對判斷一個系統(tǒng)的穩(wěn)定與否有著重要的作用。如果設(shè)計出了如圖2的系統(tǒng)，顯然不穩(wěn)定，但是可以通過對系統(tǒng)的反饋回路調(diào)整和補償，將系統(tǒng)的增益交點出現(xiàn)在相位交點之前，那么，系統(tǒng)就會變得穩(wěn)定了。

　　寫到這里，相信不少電子工程師對波特圖的使用有了更深刻的認(rèn)識，有興趣的朋友參考下我之前寫的文章欣賞波特圖的魅力，在這里我要強調(diào)一點，在畫波特圖的相位圖時，需要找好三個關(guān)鍵點：

　　①對于零點頻率ω，在0.1ω處，相位圖開始下降;
　　②在ω處，相位圖的經(jīng)過了大約+45°的相移;
　　③在10ω處，相位圖經(jīng)過了大約90°的相移;

　　為說明這點，現(xiàn)以一RC低通濾波器為例說明：

　　其傳遞函數(shù)為

　　其相位圖如圖4 所示。

　　波特圖能夠大概分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，在設(shè)計過程中，如果系統(tǒng)不復(fù)雜，能夠以表達(dá)式的形式表達(dá)出極點，那么，也可以在復(fù)平面中查看系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(由于傳遞函數(shù)長用拉普拉斯變換，引入拉普拉斯算子s，這讓我深深明白大學(xué)學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的重要性)。

　　對于復(fù)平面，圖5，

　　若極點落在右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，若在原點處，系統(tǒng)也有可能出在振蕩狀態(tài)。也就是說，只有所有的極點都落在左平面內(nèi)，系統(tǒng)才能變得穩(wěn)定。(這時，你能想起來大學(xué)老師教你的復(fù)變函數(shù)的一個應(yīng)用了吧)。

　　例如若一極點的位置為1+J3，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，若極點位置在-1+j3，那么就是穩(wěn)定的。所以，在設(shè)計系統(tǒng)時，要將所有的極點都落在復(fù)平面的右半平面。