采用FPGA實現多種類型的數字信號處理濾波器

階躍響應

對脈沖響應進行積分所得的階躍響應體現著濾波器的時域性能以及濾波器自身如何影響該性能。觀察階躍響應時應重點關注的三大參數分別是上升時間、過沖以及線性度。

上升時間指從振幅級的 10% 上升到 90% 所需的樣本數量，可顯示濾波器的速度。要在最終系統中具有實用性，濾波器必須能夠區分輸入信號中的不同事件，因此階躍響應必須短于信號中各事件之間的間隔。

過沖是指濾波器添加至其正在處理的信號時產生的失真。降低階躍響應中的過沖有助于判斷信號的失真是來自系統，還是來自系統正在測量的信息。過沖不但可增大失真來源的不確定性，降低最終系統性能，而且還可導致系統無法滿足所需的性能要求。

如果信號的上半部分和下半部分是對稱的，則濾波器的相位響應具有線性相位，這是確保階躍響應的上升沿和下降沿相同的要件。

優化濾波器，以在時域和頻域中同時實現良好的性能是非常困難的，在這一點上它也是毫無價值的。因此，必須明白需要處理的信息位于哪一個域中。對于 FIR 濾波器而言，需要處理的信息位于頻域中，因而頻率響應占主導地位。

濾波器加窗

使用截斷脈沖響應不能提供最佳性能數字濾波器，因為它不能展示任何理想的特性。因此設計人員可采用視窗函數來改善濾波器的通帶紋波、滾降以及阻帶衰減性能。對于截斷正弦函數，有許多視窗函數可以使用，如高斯、巴特利特、海明、布萊克曼以及凱塞等。不過最常用的兩種視窗函數是海明和布萊克曼。下面將詳細介紹這兩種視窗。

采用這兩種視窗不但可降低通帶紋波，而且還可提高濾波器的滾降和衰減性能。圖 3 是采用布萊克曼和海明視窗后截斷正弦函數的脈沖響應和頻率響應情況。如圖所示，兩種視窗均可顯著改善通帶紋波狀況。

濾波器的滾降不僅由視窗決定，而且還由濾波器的字長決定，即系數的數量，也就是常說的濾波器抽頭。

海明視窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)

布萊克曼視窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)+ 0.08 cos(4PI*i/N)

方程式中 i 為 1 至 N 時，總數等于 N+1個點。

要將這些視窗應用于截斷脈沖響應，必須用視窗系數乘以截斷脈沖系數，得出所需的濾波器系數。

雖然視窗類型決定了滾降頻率，但經驗法則告訴我們，對于所需的跳變帶寬，需要的抽頭數量為：N=4/BW，其中 BW 為跳變帶寬。

實現不同的濾波器拓撲

無論最終得到的濾波器類型是什么（是帶通、帶阻還是高通），所有這些都始于低通濾波器的初始設計。如果知道如何設計低通濾波器和高通濾波器，將兩者相結合就可得到帶阻及帶通濾波器。

首先看如何將低通濾波器轉化成高通濾波器。最簡單的方法叫做頻譜翻轉，即將阻帶轉換為通帶，將通帶轉換為阻帶。執行頻譜翻轉的方法是翻轉每一個樣本，同時給中心樣本添加一個樣本。第二種轉換高通濾波器的方法為頻譜倒轉，即鏡像頻譜響應，方法很簡單，就是倒轉每一個其它系數。

完成低通濾波器和高通濾波器的設計之后，就可通過組合便捷地生成帶通濾波器和帶阻濾波器。生成帶阻濾波器只需將高通濾波器和低通濾波器并行布置，然后將輸出加總。生成帶通濾波器則可通過將低通濾波器和高通濾波器串行布置來實現。