一種分數階微分IIR濾波器的設計方法和改進

圓內。為了構造最小相位系統，將零點r2映射到其倒數r1上。同時為了使幅度保持不變，引入補償因子一r2。獲得的積分算子如下：

積分算子的極點是1和一1，在單位圓上，不滿足系統穩定性，但經過后面連續分數擴充方法截斷后，可以使極點都在單位圓內。
下面是T=O．001 s時，使用新算子B實現0．5階微分的IIR分數階微分濾波器函數GvBn(z)：

2．3 基于Rectangular算子和Simpson算子內插結合的分數階微分濾波器
同樣將Rectangular算子和Simpson算子結合也可以形成新算子。新的積分算子HC(z)傳輸函數通過矩形(Rectangular)算子和辛普森(Simpson)算子按5：3比例結合獲得：

相位系統，將零點r2映射到其倒數1/r2上。同時為了使幅度保持不變，引入補償因子一r2。獲得的積分算子
如下：

積分算子的極點是1和一1，在單位圓上，不滿足系統穩定性，但經過后面連續分數擴充方法截短后，可以使極點都在單位圓內。
下面是T=0．001 s時，使用新算子C實現0．5階微分的IIR分數階微分濾波器函數GvCn(z)：

圖3顯示的是通過相互結合的3種新算子的分數階微分濾波器頻率響應。可以看出，新算子中A相比B和C具有更好的頻率特性。其幅度特性曲線從低頻到高頻都基本接近理想頻率響應曲線。新算子中A的相位特性隨頻率的增大，相位延遲近似線性增加，可以引入分數階延遲濾波器來進一步改進相位特性。

3 結 語
主要從頻域角度出發，對分數階微分IIR濾波器的設計以及實現進行了深入分析。分數階微分IIR濾波器的實現有兩個重要的步驟。首先，找到合適的微分算子，所選算子的頻率響應逼近理想分數階微分頻率響應的程度直接影響到所實現濾波器的表現；其次，要使用合適的展開方法把傳輸函數從分數階形式轉化成整數階濾波器的形式，連續分數擴充(CFE)方法是一種廣泛使用并有良好效果的方法。這里通過將幾種典型算子進行內插結合獲得了一種整體更接近理想頻率響應的算子，使用連續分數擴充(CFE)方法，完成了分數階微分IIR濾波器的數字實現，通過新算子頻率響應的對比分析，分數階微分濾波器的性能獲得了明顯的提高。