基于同倫算法的逆變電源特定消諧法的研究

解非線性方程組(4)，便得PWM波的各開關角，然后根據對稱特性可以得到整個周期的各個開關角。求解該方程組，可得到一組[0，π／2]內的開關角，當然，這些開關角應滿足以下條件：

0α1α2α3α4α5α6α7α8π／2
式(4)為非線性方程組，一般采用牛頓迭代法求解，但是該求解過程是否收斂與所取的初值有很大的關系。使用時由于求解非線性方程組存在較大困難以及存儲脈沖相位角需要很大的存貯空間，因而在相當程度上制約了它的應用。目前該方法的應用僅限于離線控制。

3 同倫算法的建立
3．1 同倫算法
同倫方程的數值解法有2種：同倫延拓法；參數微分法。采用參數微分法將非線性方程組(4)簡寫為：
F(a)=0 (5)
式中，F：D∈Rn→Rn。令a*是方程組(5)的解。
非線性超越方程組(5)，一般采用牛頓迭代法求解，但該方法對初值的選取要求較為嚴格，即要求初始近似解a0與解a*充分靠近，才能使迭代數{ak}收斂于a*。實際計算中要找到滿足要求的迭代初始值往往很困難，如果給出的初始值導致迭代不收斂，就需要重新給初始值再計算，這樣就大大降低了求解速度，難以實現實時控制。為了解決這個問題，這里嘗試用同倫法求解。同倫法是一種用于非線性方程組數值求解的新方法，具有全局收斂和收斂速度快等優點，其基本的思想是：對于該方程組，引人參數t，構造一族映射H，使當t為某一特定值(例如t=1)時，H就是映象F，而當t=0時，得出方程組F0(a)=0的解a0是已知的。也就是說，構造一簇映射H：D×[O，1]∈Rn+1→Rn，代替單個映射F，使H滿足條件：

式中：F0(a)=0的解a0為已知，而方程H(a，1)=0就是原來的非線性方程組(5)，現在把問題變為求解同倫方程：

構造滿足條件(6)的同倫H可以是各種各樣的。這里，構造H(a，t)=F(a)+(t-1)F(a0)。可以證明，該同倫方程存在惟一解a=a(t)，且a(t)是微分方程式(7)的解，式(7)為：

因此，通過求解微分方程初值問題式(7)的數值解，可得到方程(5)的解。用具有二階精度的中點求積法，得到：

式中：k=1，2，…，A-1，A為正整數。
只要F'(a)-1存在，且A足夠大，可證明由式(8)求得的nA可作為式(5)的解a*的一個好的近似，再用牛頓迭代法可求得精確解。
3．2 算例
根據文中采用的模型及算法，取開關角N=8，隨著基波幅值q的變化得到一組開關角的解軌跡(取UDC=1)，如圖4為顯示開關角aN隨基波幅值q的變化，取q=0.3，q=0.5和q=0.7時得到的三組開關角的解如表3所示。