三維矢量散射積分方程中奇異性的分析及求解方法介紹

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在關于場點和源點的面積分中，被積函數包含了兩項：

　(13)
　(14)

阻抗矩陣計算式(4)和(12)可分別簡寫為：

　(15)

和

　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用來求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點使用主值積分，便于數值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計，選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項轉移方法
　　在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來講，對于這類積分，數值計算時只要分格越細(不取奇點)，所得的數值結果就越精確.但計算量增加.若取較少的節點，則由于被積函數在奇點附近變化劇烈，導致誤差增大.所以必須尋找一種在數值計算上實際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉移法［1］.本文將這種方法進行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問題.經過簡單的數學處理，得：

　(17)

在上式中，第一項被積函數在積分域是連續有限的，因此數值可積.在第二項積分中，因子f1(r,r)只與場點有關，故可提到積分號外，因此簡化了奇異項以便于使用積分的解析解：

式中R0=
　(19)

四、挖除有限小塊法
　　下面討論I′2的數值積分.積分項I′2不包含奇點，其被積函數F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數值求積是很困難的.
　　用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(ΔSsp)，并設F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實際空間中，Δs0對應于一很小的曲面塊，即Δs01.而在參數空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時I′2變為：

　(20)

式中第一項不含陡變部分，所以可用一般的數值求積方法計算.第二項不含奇點，可以得到解析結果.