開(kāi)關(guān)電容梳狀濾波器幅頻特性的深入分析

　　最基本的開(kāi)關(guān)電容電路是由電子開(kāi)關(guān)和電容組成的，主要應(yīng)用是構(gòu)成各種低通、高通、帶通、帶阻等開(kāi)關(guān)電容濾波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。將開(kāi)關(guān)電容電路與運(yùn)算放大器結(jié)合，組成的開(kāi)關(guān)電容有源濾波器具有很多奇特的性質(zhì)，但由于引入了電子開(kāi)關(guān)，對(duì)電路特性進(jìn)行嚴(yán)密分析變得異常困難，目前已有的分析方法都只是在一定條件下從一個(gè)側(cè)面進(jìn)行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計(jì)算機(jī)系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行復(fù)雜而嚴(yán)格的分析計(jì)算，最終得到了具有普遍意義的結(jié)論，上述文獻(xiàn)的結(jié)果只是該普遍性結(jié)論的特例。

　　1 SCF電路

　　開(kāi)關(guān)電容有源濾波器電路如圖1(a)，其中S1和S2是由周期為2T的方波信號(hào)控制的理想電子開(kāi)關(guān)，方波控制信號(hào)p(t)波形如圖1(b)，其占空系數(shù)為0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期間兩開(kāi)關(guān)接通A點(diǎn)，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期間兩開(kāi)關(guān)接通B點(diǎn)，其中K=0，1，2，…，是時(shí)段編號(hào)。

　　2 時(shí)域法特性分析

　　時(shí)域分析法的思路是根據(jù)圖1的電路結(jié)構(gòu)建立電路的微分方程(以輸出電壓為研究對(duì)象)。轉(zhuǎn)換周期為2T的電子開(kāi)關(guān)的方波控制信號(hào)可表示為周期為2T的周期信號(hào)p(t)與單位階躍信號(hào)ε(t)的乘積：

　　式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)為開(kāi)關(guān)頻率，電路在k時(shí)段的時(shí)域響應(yīng)(輸出電壓)表示為hk(t)，并設(shè)：

　　(1)電容C在t=0_時(shí)刻電壓為零(0_，kT_等帶下劃線符號(hào)表示相應(yīng)時(shí)刻的前瞬，下同)，即：

　　(2)因?yàn)榈依?delta;函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)的傅里葉變換即為電路的頻率響應(yīng)函數(shù)，即系統(tǒng)(頻譜)函數(shù)H(Ω)，故設(shè)電路輸入信號(hào)(激勵(lì))為δ函數(shù)，即：

　　由于電子開(kāi)關(guān)周期性切換，RC電路對(duì)外電路的影響表現(xiàn)為：下一時(shí)段的輸出電壓初值是上一時(shí)段末時(shí)刻輸出電壓值乘(-1)，即：

　　圖1(a)中理想運(yùn)放反相端為虛地，第0時(shí)段(即k=0，0≤t<T)電路響應(yīng)h0(t)的微分方程為

　　由式(8)可見(jiàn)，第k段的非零值時(shí)區(qū)為(kT，(k+1)T_)，即各時(shí)段非零值區(qū)間互不重疊，對(duì)hk(t)關(guān)于k求和，得開(kāi)關(guān)電容電路(對(duì)外)的單位沖激零狀態(tài)響應(yīng)h(t)為：

　　特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p(t)與單位階躍信號(hào)ε(t)的乘積，對(duì)上式取Fourier積分變換即得到開(kāi)關(guān)電容電路系統(tǒng)頻譜函數(shù)(用j表示虛數(shù)單位，下同)：

　　也可以根據(jù)式(1)定義的周期為2T的開(kāi)關(guān)方波信號(hào)p(t)，將式(9)改寫為：

　　易證式(13)與式(10)完全一致，故其幅頻特性∣H(Ω)∣仍與式(11)相同。