單片機中最小二乘方濾波器的向量測量及功率計算研究

　　目前，以單片機為基礎的數字式電氣測量、保護裝置已成為主流形式。交流信號直接采樣也已成為一種普通的方法。快速傅立葉算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，計算量很大，尤其在單片機的處理能力有限的情況下，既要保證實時性，又要保證計算速度，不經過精心設計和程序優化，很難保證二者的統一。

　　通過減少采樣次數、使用每周濾四個采樣點擬合的濾波器和一套優化措施，使該算法計算速度大大提高，可以勝任工頻向量的實時測量，因而可以用于過流、速斷、方向保護等多個方面。本文分析了濾波器中的向量相位關系，同時給出了以此為基礎的兩線制功率計算舉例。該方法已通過實際應用檢驗。

　　1 最小二乘方濾波器的構造

　　根據文獻[1～3]的研究結果,對每一路信號，輸入電壓函數可表示為：

　　在一般的測量、保護應用中，只需關心基波成分。為減少計算量，應最大限度地減少采樣次數。根據采樣定理，一個正弦函數的離散采樣次數量少每周波3次。為了方便，將每周波采樣次數定為4次，即采樣周期為5ms.則公式（1）中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級數展開并取其前兩項，則（1）式成為：

　　其中，P0為直流分量值，P1為基波峰-峰值，θ1為基波分量在采樣時刻相對于零點的相位角。

　　若以最近連續4次采樣值為樣本，可得到4個采樣方程。如將P0、-P0λ、P1cos（θ1）P1sin（θ1）作為待測未知數，可將4個采樣方程表示成如下矩陣：

　　若分別用符號A表示系數矩陣，X表示未知參數向量，U表示采樣值，則：

　　其中A-1表示A的逆矩陣，亦即向量X的最小二乘方濾波器。根據文獻[3],這個濾波器為：

　　因此，

　　實際應用中，為了減少單片機順序采樣帶來的時間延遲所造成的計算誤差，硬件電路應具有同步采樣功能。其作用就是在采樣時刻將所有電氣信號分別保持下來。

　　2 數字濾波器中瞬時相量的關系

　　若用ua、ub、uc分別表示三相電壓相量，Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分別用θua、θub、θuc表示；用ia、ib、ic分別表示三相電流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分別為θia、θib、θic.則（4）式就是對應相量在X軸上的投影，即矢量的實部；（5）式就是對相量在Y軸上的投影，即矢量的虛部，（4）和（5）式中的θ1是上述相量相對于20ms時間窗之初時刻的相位角。