一文了解高斯濾波器，附原理及實(shí)現(xiàn)過(guò)程

高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類(lèi)似，都是取濾波器窗口內(nèi)的像素的均值作為輸出。其窗口模板的系數(shù)和均值濾波器不同，均值濾波器的模板系數(shù)都是相同的為1;而高斯濾波器的模板系數(shù)，則隨著距離模板中心的增大而系數(shù)減小。所以，高斯濾波器相比于均值濾波器對(duì)圖像個(gè)模糊程度較小。

什么是高斯濾波器？

既然名稱(chēng)為高斯濾波器，那么其和高斯分布(正態(tài)分布)是有一定的關(guān)系的。一個(gè)二維的高斯函數(shù)如下：

其中(x,y)(x,y)為點(diǎn)坐標(biāo)，在圖像處理中可認(rèn)為是整數(shù);σσ是標(biāo)準(zhǔn)差。要想得到一個(gè)高斯濾波器的模板，可以對(duì)高斯函數(shù)進(jìn)行離散化，得到的高斯函數(shù)值作為模板的系數(shù)。例如：要產(chǎn)生一個(gè)3×33×3的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行取樣。模板在各個(gè)位置的坐標(biāo)，如下所示(x軸水平向右，y軸豎直向下)

這樣，將各個(gè)位置的坐標(biāo)帶入到高斯函數(shù)中，得到的值就是模板的系數(shù)。

對(duì)于窗口模板的大小為(2k+1)×(2k+1)，模板中各個(gè)元素值的計(jì)算公式如下：

這樣計(jì)算出來(lái)的模板有兩種形式：小數(shù)和整數(shù)。

小數(shù)形式的模板，就是直接計(jì)算得到的值，沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何的處理;

整數(shù)形式的，則需要進(jìn)行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會(huì)具體介紹。使用整數(shù)的模板時(shí)，需要在模板的前面加一個(gè)系數(shù)，系數(shù)為也就是模板系數(shù)和的倒數(shù)。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，實(shí)現(xiàn)起來(lái)也就不困難了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)

{

static const double pi = 3.1415926;

int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標(biāo)的原點(diǎn)

double x2, y2;

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

x2 = pow(i - center, 2);

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

y2 = pow(j - center, 2);

double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));

g /= 2 * pi * sigma;

window[i][j] = g;

}

}

double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數(shù)歸一化為1

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

window[i][j] *= k;

}

}

}

需要一個(gè)二維數(shù)組，存放生成的系數(shù)(這里假設(shè)模板的最大尺寸不會(huì)超過(guò)11);第二個(gè)參數(shù)是模板的大小(不要超過(guò)11);第三個(gè)參數(shù)就比較重要了，是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

生成的過(guò)程，首先根據(jù)模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍歷，根據(jù)高斯分布的函數(shù)，計(jì)算模板中每個(gè)系數(shù)的值。

需要注意的是，最后歸一化的過(guò)程，使用模板左上角的系數(shù)的倒數(shù)作為歸一化的系數(shù)(左上角的系數(shù)值被歸一化為1)，模板中的每個(gè)系數(shù)都乘以該值(左上角系數(shù)的倒數(shù))，然后將得到的值取整，就得到了整數(shù)型的高斯濾波器模板。

下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板。

對(duì)上述解結(jié)果取整后得到如下模板：

這個(gè)模板就比較熟悉了，其就是根據(jù)σ=0.8的高斯函數(shù)生成的模板。

至于小數(shù)形式的生成也比較簡(jiǎn)單，去掉歸一化的過(guò)程，并且在求解過(guò)程后，模板的每個(gè)系數(shù)要除以所有系數(shù)的和。具體代碼如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)

{

static const double pi = 3.1415926;

int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標(biāo)的原點(diǎn)

double x2, y2;

double sum = 0;

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

x2 = pow(i - center, 2);

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

y2 = pow(j - center, 2);

double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));

g /= 2 * pi * sigma;

sum += g;

window[i][j] = g;

}

}

//double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數(shù)歸一化為1

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

window[i][j] /= sum;

}

}

}

3×3,σ=0.8的小數(shù)型模板。

σσ值的意義及選取

通過(guò)上述的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，高斯濾波器模板的生成最重要的參數(shù)就是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σσ。標(biāo)準(zhǔn)差代表著數(shù)據(jù)的離散程度，如果σσ較小，那么生成的模板的中心系數(shù)較大，而周?chē)南禂?shù)較小，這樣對(duì)圖像的平滑效果就不是很明顯;反之，σσ較大，則生成的模板的各個(gè)系數(shù)相差就不是很大，比較類(lèi)似均值模板，對(duì)圖像的平滑效果比較明顯。

來(lái)看下一維高斯分布的概率分布密度圖：

橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個(gè)曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σσ(標(biāo)準(zhǔn)差)決定了這個(gè)圖形的寬度，可以得出這樣的結(jié)論：σσ越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩;σσ越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實(shí)很好理解，如果sigma也就是標(biāo)準(zhǔn)差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬(分布越分散);同理，當(dāng)σσ越小時(shí)，說(shuō)明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄!

于是可以得到如下結(jié)論：

σσ越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類(lèi)似于平均模板；

σσ越小，分布越集中，中間部分所占比重遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他元素值，于是自然而然就相當(dāng)于中間值得點(diǎn)運(yùn)算。

基于OpenCV的實(shí)現(xiàn)

在生成高斯模板好，其簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)和其他的空間濾波器沒(méi)有區(qū)別，具體代碼如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)

{

CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像

const static double pi = 3.1415926;

// 根據(jù)窗口大小和sigma生成高斯濾波器模板

// 申請(qǐng)一個(gè)二維數(shù)組，存放生成的高斯模板矩陣

double **templatematrix = new double*[ksize];

for (int i = 0; i < ksize; i++)

templateMatrix[i] = new double[ksize];

int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點(diǎn)

double x2, y2;

double sum = 0;

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

x2 = pow(i - origin, 2);

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

y2 = pow(j - origin, 2);

// 高斯函數(shù)前的常數(shù)可以不用計(jì)算，會(huì)在歸一化的過(guò)程中給消去

double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));

sum += g;

templateMatrix[i][j] = g;

}

}

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

for (int j = 0; j < ksize; j++)

{

templateMatrix[i][j] /= sum;

cout << templateMatrix[i][j] << " ";

}

cout << endl;

}

// 將模板應(yīng)用到圖像中

int border = ksize / 2;

copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);

int channels = dst.channels();

int rows = dst.rows - border;

int cols = dst.cols - border;

for (int i = border; i < rows; i++)

{

for (int j = border; j < cols; j++)

{

double sum[3] = { 0 };

for (int a = -border; a <= border; a++)

{

for (int b = -border; b <= border; b++)

{

if (channels == 1)

{

sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at<uchar>(i + a, j + b);

}

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + a, j + b);

auto k = templateMatrix[border + a][border + b];

sum[0] += k * rgb[0];

sum[1] += k * rgb[1];

sum[2] += k * rgb[2];

}

}

}

for (int k = 0; k < channels; k++)

{

if (sum[k] < 0)

sum[k] = 0;

else if (sum[k] > 255)

sum[k] = 255;

}

if (channels == 1)

dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };

dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;

}

}

}

// 釋放模板數(shù)組

for (int i = 0; i < ksize; i++)

delete[] templateMatrix[i];

delete[] templateMatrix;

}

只處理單通道或者三通道圖像，模板生成后，其濾波(卷積過(guò)程)就比較簡(jiǎn)單了。不過(guò)，這樣的高斯濾波過(guò)程，其循環(huán)運(yùn)算次數(shù)為m×n×ksize2，其中m，n為圖像的尺寸;ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時(shí)間復(fù)雜度為O(ksize2)，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長(zhǎng)，當(dāng)高斯濾波器的尺寸較大時(shí)，其運(yùn)算效率是極低的。為了，提高濾波的運(yùn)算速度，可以將二維的高斯濾波過(guò)程分解開(kāi)來(lái)。

分離實(shí)現(xiàn)高斯濾波

由于高斯函數(shù)的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進(jìn)行：首先將圖像在水平(豎直)方向與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積;然后將卷積后的結(jié)果在豎直(水平)方向使用相同的一維高斯函數(shù)得到的模板進(jìn)行卷積運(yùn)算。具體實(shí)現(xiàn)代碼如下：

// 分離的計(jì)算

void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)

{

CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像

// 生成一維的高斯濾波模板

double *matrix = new double[ksize];

double sum = 0;

int origin = ksize / 2;

for (int i = 0; i < ksize; i++)

{

// 高斯函數(shù)前的常數(shù)可以不用計(jì)算，會(huì)在歸一化的過(guò)程中給消去

double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));

sum += g;

matrix[i] = g;

}

// 歸一化

for (int i = 0; i < ksize; i++)

matrix[i] /= sum;

// 將模板應(yīng)用到圖像中

int border = ksize / 2;

copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);

int channels = dst.channels();

int rows = dst.rows - border;

int cols = dst.cols - border;

// 水平方向

for (int i = border; i < rows; i++)

{

for (int j = border; j < cols; j++)

{

double sum[3] = { 0 };

for (int k = -border; k <= border; k++)

{

if (channels == 1)

{

sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i, j + k); // 行不變，列變化；先做水平方向的卷積

}

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i, j + k);

sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];

sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];

sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];

}

}

for (int k = 0; k < channels; k++)

{

if (sum[k] < 0)

sum[k] = 0;

else if (sum[k] > 255)

sum[k] = 255;

}

if (channels == 1)

dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };

dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;

}

}

}

// 豎直方向

for (int i = border; i < rows; i++)

{

for (int j = border; j < cols; j++)

{

double sum[3] = { 0 };

for (int k = -border; k <= border; k++)

{

if (channels == 1)

{

sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直方向的卷積

}

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + k, j);

sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];

sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];

sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];

}

}

for (int k = 0; k < channels; k++)

{

if (sum[k] < 0)

sum[k] = 0;

else if (sum[k] > 255)

sum[k] = 255;

}

if (channels == 1)

dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);

else if (channels == 3)

{

Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };

dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;

}

}

}

delete[] matrix;

}

代碼沒(méi)有重構(gòu)較長(zhǎng)，不過(guò)其實(shí)現(xiàn)原理是比較簡(jiǎn)單的。首先得到一維高斯函數(shù)的模板，在卷積(濾波)的過(guò)程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運(yùn)算;接著在上述得到的結(jié)果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運(yùn)算。這樣分解開(kāi)來(lái)，算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(ksize)O(ksize)，運(yùn)算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長(zhǎng)。

在OpenCV也有對(duì)高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其聲明如下：

CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,

double sigmaX, double sigmaY = 0,

int borderType = BORDER_DEFAULT );

二維高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差在x和y方向上應(yīng)該分別有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，在上面的代碼中一直設(shè)其在x和y方向的標(biāo)準(zhǔn)是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設(shè)置不同的標(biāo)準(zhǔn)差。

下圖是自己實(shí)現(xiàn)的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結(jié)果對(duì)比

上圖是5×5,σ=0.8的高斯濾波器，可以看出兩個(gè)實(shí)現(xiàn)得到的結(jié)果沒(méi)有很大的區(qū)別。

總結(jié)

高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對(duì)二維高斯函數(shù)離散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波后的結(jié)果相對(duì)于均值濾波器來(lái)說(shuō)更好。

高斯濾波器最重要的參數(shù)就是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σσ，標(biāo)準(zhǔn)差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，σσ越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對(duì)圖像的平滑程度就越好。通過(guò)調(diào)節(jié)σσ參數(shù)，可以平衡對(duì)圖像的噪聲的抑制和對(duì)圖像的模糊。