基于WLS-KF的GPS非線性動態濾波研究

摘要：為了提高動態定位精度，將卡爾曼(KF)算法應用到GPS非線性動態定位解算中，提出加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法。通過加權最小二乘(WLS)算法得到近似的線性化模型，再將KF算法應用到這個線性化模型進行校正。因此既保持了KF算法能夠對系統狀態進行最優估算的優點，同時對各個測量值進行了聯系制約，具有更高的精度。結果表明，這種方法精度介于EKF和UKF之間，且實現容易，預測可靠，具有實際應用價值。
關鍵詞：全球定位系統；卡爾曼濾波；加權最小二乘；非線性

0 引言
卡爾曼濾波(KF)是一個不斷預測、修正的遞推過程，已經越來越多地應用于動態數據處理中。然而在KF模型中，要求觀測方程是線性形式、狀態噪聲和測量噪聲是白噪聲。為了解決這種矛盾，將KF理論應用到非線性領域中，擴展卡爾曼濾波(EKF)應用而生，它圍繞狀態估計值對非線性系統進行一階Taylor展開使其線性化，但它存在如下不足：一是當非線性函數Taylor展開式的高階項無法忽略時，會產生較大的線性化誤差；二是EKF假定噪聲均為正態白噪聲，但是一個正態自噪聲經過非線性變換后通常不再呈現正態性；三是只有在雅可比矩陣存在時才能線性化，而很多應用中雅可比矩陣很難求。針對這種情況，Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線性變換——Un-scented變換(UT)的卡爾曼濾波算法(UKF)。它通過確定性采樣得到的一組sigma點，可以獲得更多的觀測假設，對系統狀態的均值和協方差的估計更為準確，同時由于該算法采用了非線性的狀態方程和觀測方程，從而避免了線性化誤差。目前，EKF和UKF算法被廣泛應用于GPS非線性動態濾波研究中，并取得良好的定位效果。
本文給出了一種加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法，它利用一組離散采樣點，通過WLS方法產生近似線性化預測模型，然后用KF算法對此模型進行校正。以該算法為思路，將其應用在GPS非線性動態濾波定位解算中，仿真結果表明該算法精度介于EKF和UKF之間，從而實現了對目標較高精度的定位和跟蹤。

1 算法描述
1．1 WLS算法
LS算法是現代測量技術中數據處理的基本工具，這種方法的特點是算法簡單，在估計解算時，不需要知道與被估計量以及觀測量有關的任何統計信息。
設X為待估參數矢量，觀測矢量為L。觀測方程為：

式中：v為觀測誤差。用泰勒定理展開，得到線性化的觀測方程為：

式中：A是系數矩陣；f(X0)表示用先驗參數計算的理論觀測向量；b表示擬合后的殘差；△X是對先驗參數的小修正向量。
LS算法的指標是使各次觀測量與由參數估計得到的觀測量之差的平方和最小，即：

要使上式達到最小，當對觀測矢量的質量有所了解時，設置各個測量值的權重，得到WLS算法的解為：

若更新后的Xk尚未達到求解精度，則Xk可作為第k+1次迭代的起始點，繼續進行上述運算。