基于Lagrange算子的成形濾波器設計

摘要：成形濾波器的設計一直是移動通信中的熱門話題，它設計的好壞直接影響通訊系統的性能指標。文中介紹了基于lagrange算子的成形濾波器的設計方法，并與窗函數和頻率抽樣設計進行了比較。仿真及實測結果均表明此方法在實際應用中具有較好的可行性和有效性。
關鍵詞：lagrange算子；成形濾波器；根升余弦濾波器；WCDMA

引言

在數字通信中，成形濾波器的設計是通信領域中的一個基本問題。其作用是一方面對信號進行帶限，另一方面減小碼間干擾，因此頻譜形狀應滿足奈奎斯特準則，頻率響應要滿足升余弦。本文介紹了用lagrange算子來設計WCDMA上下行鏈路中的成形濾波器。

WCDMA上下行鏈路中的成形濾波器時域特性和頻域特性

發射端中的成形濾波器是平方根升余弦濾波器，它是一個低通濾波器。它是對發送的數據進行成形濾波，在接收端對應的地方也有一個與之相應的平方根升余弦濾波器。發送濾波器一般應滿足對頻譜的要求，以限制信號的帶寬。接收濾波器能限制噪聲和減小符號間的干擾。3GPPTS25.104里對成形濾波器作了如下規定。

（1）平方根升余弦滾降的時域表達式如下：

（2）平方根升余弦滾降的頻率響應特性如下：

（3）滾降系數α和碼片周期T_c

升余弦譜濾波器的滾降系數α定義為

即滾降特性信道的帶寬為f_α+ f_s=(1+α)f_s。其中，f_s為碼片速率，f_α為滾降帶寬。

隨著α的增大，幅度響應在截止頻率處越光滑，沖激響應拖尾幅度衰減越快，ISI(Intersignal Interrupt)減小。因此，理論上α應盡可能大些。但是，實際中α的確定應使發送信號的歸一化等效基帶功率譜滿足通信行業標準規定的頻譜框架要求。在WCDMA中，α取0.22。

由于WCDMA碼片速率為3.84MHz，所以T_c =1/3.846≈0.26042µs。

Lagrange算子法設計濾波器

下面考慮偶對稱及濾波器階數為偶數的濾波器

設計：

其中令

則

阻帶能量為

其中

i，k=1，2，…，L/2

濾波器通帶要求在通帶范圍內離散的頻點上滿足一定的幅度和約束。約束條件

即

因此通帶約束條件滿足如下等式：

其中

使用Lagrange算子設計濾波器的思想：滿足約束條件（10）使阻帶能量最小。得到如下結果：

λ是Lagrange算子。具體求解過程請參見[2]。

仿真及實測結果

（1）設計結果
根據具體的專用集成電路要求，取L=64，選擇合適的約束條件：保證通帶平坦度最優和通道的3dB帶寬，得到如下的成形濾波器頻譜如圖1所示。

圖1 Lagrange算子濾波與理想濾波頻率響應

濾波器性能指標：

截止頻率1.92MHz
阻帶起始頻率2.342MHz
通帶紋波0.7dB
阻帶抑制81.7dB


（2）采用窗函數和頻率抽樣算法設計的成形濾波器

濾波器性能指標：

截止頻率1.9MHz
阻帶起始頻率2.342MHz
通帶紋波0.7dB
阻帶抑制40.5dB

濾波器性能指標：
截止頻率1.923MHz
阻帶起始頻率2.342MHz

通帶紋波0.2dB
阻帶抑制44dB

圖2 窗函數法


圖3 頻率抽樣法

（3）實測結果及分析針對WCDMA上行信號，我們設計了一基于ISL5416的成形濾波器：64階，滾降因子0.22，圖4是通過成形濾波器的星座圖，圖5是成形濾波器的輸出功率譜。

結論

仿真分析表明，相對于窗函數和頻率抽樣法，

圖4 WCDMA星座圖

圖5 功率譜示意圖

基于Lagrange算子得到的成形濾波器具有較準確的通帶和阻帶邊緣頻率，阻帶抑制大的優點；實測結果顯示，采用Lagrange算子能得到滿足WCDMA通信系統需求的成形濾波器。