模糊滑模控制在蹺蹺板系統中的應用研究

1 引言
一般來說，大多數物理過程都具有復雜、高度非線性、易受外界干擾影響，且存在很大的不可知性等特點。利用傳統的控制器來處理該類系統是非常困難的。然而，隨著控制理論的不斷發展，智能控制即使在不知道系統的數學模型的情況下也能獲得比傳統控制方法更好的控制效果[1]。蹺蹺板系統是一個比倒立擺系統更為復雜，更接近于實際應用的典型控制系統。它具有嚴重的非線性、強耦合、對干擾敏感、模型過于復雜等特點[2-5]。蹺蹺板系統是由一部小車、一個直流伺服電動機、兩個分別用于測量角度和位置的電位計以及蹺蹺板三角體組成。而讓蹺蹺板平衡的機制就是利用蹺蹺板系統中小車的移動來完成平衡的目的^[6]。
由于蹺蹺板系統具有高度的非線性和強耦合性等特點以及變結構控制的抖振問題，本文將模糊滑模控制算法引入系統控制中以柔化控制量。使用模糊控制策略不僅可以使控制系統滑動模態的品質得到保證和改善，同時消除了滑模控制中的抖振現象。
2 蹺蹺板系統的數學模型
蹺蹺板系統示意圖如圖（1）所示。

圖（1）蹺蹺板系統示意圖

圖中各參數定義如下：
杠桿的傾斜角度；X : 小車的位置；d₁ : 杠桿相對支點高度0.125 m；d₂ : 杠桿中心點相對支點高度0.058 m；I_w : 轉動慣量0.395kg.m²；m_b : 小車的質量0.57K；m_w : 杠桿的質量3.6K； : 重力加速度9.81N/K。
定義拉格朗日算子
L=T-U （1）
其中T 為系統的動能，U 為系統的勢能。取狀態變量為 ，為構造拉格朗日方程，分別求出

將（4）式代入（2）式和（3）式，即可得到（5）和（6）式

通過（5）和（6）式可分別求得 和 的表達式

方程組（7）即為系統的非線性狀態方程表達式。

3 模糊滑模控制器的設計
滑模變結構控制具有響應速度快、魯棒性強等優點，被廣泛應用與非線性系統控制當中，但是滑模控制容易引起系統的抖振現象，導致系統的最終不穩定。模糊滑模控制是在不確定環境下，對于復雜對象進行有效控制的一種智能控制方法。它不依賴系統的模型，而且對干擾具有完全的魯棒性，同時保持了模糊控制和滑模控制的優點。模糊滑模控制的基本設計方法是在滑模控制系統的趨近階段通過模糊邏輯調節控制作用來補償未建模動力學的影響，其目的是提高控制系統的品質、減少到達滑動面時間、降低抖振。文中利用模糊控制規則調整控制輸入量 的大小，保證滑模控制到達條件得到滿足。模糊滑模控制原理如圖1所示。

圖1 模糊滑模控制原理圖

由圖可知，模糊滑模控制系統由三部分組成，即切換函數、模糊控制器、和被控對象。滑模函數的輸入為系統狀態變量，切換函數設計為s=C?X
（1）
模糊控制器的輸入為切換函數 及其變化率 ，這樣可有效的減少模糊規則的數量，很好的解決高階系統多輸入中存在的規則爆炸問題。控制的變化量 作為滑模控制器的輸出，可使模糊滑模控制成為無模型控制，依賴于被控對象的程度較小^[7]。
根據模糊控制原理，定義模糊集 ，