系統的數學模型―微分方程與傳輸算子

不涉及任何數學變換，而直接在時間變量域內對系統進行分析，稱為系統的時域分析。其方法有兩種：時域經典法與時域卷積法。

時域經典法就是直接求解系統微分方程的方法。這種方法的優點是直觀，物理概念清楚，缺點是求解過程冗繁，應用上也有局限性。所以在20世紀50年代以前，人們普遍喜歡采用變換域分析方法(例如拉普拉斯變換法)，而較少采用時域經典法。20世紀50年代以后，由于δ(t)函數及計算機的普遍應用，時域卷積法得到了迅速發展，且不斷成熟和完善，已成為系統分析的重要方法之一。時域分析法是各種變換域分析法的基礎。

在本章中，首先建立系統的數學模型——微分方程，然后用經典法求系統的零輸入響應，用時域卷積法求系統的零狀態響應，再把零輸入響應與零狀態響應相加，即得系統的全響應。其思路與程序是：

其次，將介紹：系統相當于一個微分方程；系統相當于一個傳輸算子H(p)；系統相當于一個信號——沖激響應h(t)。對系統進行分析，就是研究激勵信號f(t)與沖激響應信號h(t)之間的關系，這種關系就是卷積積分。

2-1 系統的數學模型——微分方程與傳輸算子

研究系統，首先要建立系統的數學模型——微分方程。建立電路系統微分方程的依據是電路的兩種約束：拓撲約束(KCL，KVL)與元件約束(元件的時域伏安關系)。為了使讀者容易理解和接受，我們采取從特殊到一般的方法來研究。

圖2-1(a)所示為一含有三個獨立動態元件的雙網孔電路，其中 為激勵， ， 為響應。對兩個網孔回路可列出KVL方程為

上兩式為含有兩個待求變量 ， 的聯立微分積分方程。

為了得到只含有一個變量的微分方程，

須引用微分算子 ，即

， ，…，

在引入了微分算子 后，上述微分方程即可寫

即

(2-1)

根據式(2-1)可畫出算子形式的電路模型，如圖2-1(b)所示。將圖2-1(a)與(b)對照，

可很容易地根據圖2-1(a)畫出圖2-1(b)，即將L改寫成Lp，將C改寫成 ，

其余一切均不變。當畫出了算子電路模型后，即可很容易地根據圖2-1(b)算子電路模型列寫出式(2-1)。

給式(2-1)等號兩端同時左乘以p，即得聯立的微分方程，即

將已知數據代入上式，得

(2-2)

用行列式法從式(2-2)中可求得響應i1(t)為

注意，在上式的演算過程中，消去了分子與分母中的公因子p。這是因為所研究的電路是三階的，

因而電路的微分方程也應是三階的。但應注意，并不是在任何情況下分子與分母中的公因子都可消去。

有的情況可以消去，有的情況則不能消去，視具體情況而定。故有

即

即

上式即為待求變量為i1(t)的三階常系數線性非齊次常微分方程。

方程等號左端為響應i1(t)及其各階導數的線性組合，

等號右端為激勵f(t)及其各階導數的線性組合。

利用同樣的方法可求得i2(t)為

即

即

即

上式即為描述響應i2(t)與激勵f(t)關系的微分方程。

推廣之，對于n階系統，若設y(t)為響應變量， f(t)為激勵，如圖2-2所示，則系統微分方程的一般形式為

(2-3)

用微分算子 表示則為

或寫成

又可寫成

式中

稱為系統或微分方程式(2-3)的特征多項式；

(2-4)

H(p)稱為響應y(t)對激勵f(t)的傳輸算子或轉移算子，它為p的兩個實系數有理多項式之比，

其分母即為微分方程的特征多項式D(p)。H(p)描述了系統本身的特性，與系統的激勵和響應無關。

這里指出一點：字母p在本質上是一個微分算子，但從數學形式的角度，以后可以人為地把它看成是

一個變量(一般是復數)。這樣，傳輸算子H(p)就是p的兩個實系數有理多項式之比。

例2-1 圖2-3(a)所示電路。求響應u1(t),u2(t)對激勵 的傳輸算子及u1(t),u2(t)分別對i(t)的微分方程。

解 其算子形式的電路如圖2-3(b)所示。對節點①，②列算子形式的KCL方程為

代入數據得

對上式各項同時左乘以p，并整理得

用行列式法聯解得

故得u1(t)對i(t)，u2(t)對i(t)的傳輸算子分別為

進而得u1(t),u2(t)分別對i(t)的微分方程為

即

可見，對不同的響應u1(t),u2(t)，其特征多項式 都是相同的，

這就是系統特征多項式的不變性與相同性。