組合BCH碼在CDMA系統中的研究與應用

摘要：提出了素多項式同組的概念，并對由同組的素多項式構成的組合BCH碼在碼長、信息位長度、階數等方面的特性進行了研究和分析。同時，還對組合BCH碼經過群變換后產生的類正交矩陣進行了研究。研究發現，當構成組合BCH碼的素多項式的個數越多時，類正交矩陣的行類正交性越好，列類正交性越差。最后，將組合BCH碼的類正交矩陣用于CDMA通信系統中，并分析了在構成組合BCH碼的素多項式個數不同的情況下，行和列分別作為多用戶編碼時的誤碼率。
關鍵詞：組合BCH碼；類正交矩陣；CDMA；誤碼率

BCH碼最早是由霍昆格姆(Hocquenghem)在1959年、博斯(Bose)和查德胡里(Chandhair)在1960年各自提出的，它是一類重要的循環碼，能糾正多個隨機錯誤。本文中由BCH碼或者BCH碼組合得到的生成多項式，采用群變換編碼方法，可以得到一種具有類正交特性的矩陣。利用矩陣的類正交特性，將其用于碼分多址的多用戶傳輸，此外，也可以將這種矩陣用于擴譜通信和通信加密等方面。

1 BCH碼的組合特性
1．1 BCH碼的產生
對于BCH碼中的一個素多項式：

式中：xi僅表明其系數(1或0)ci的值，x本身的取值并無實際的含義。BCH碼的生成多項式g(x)可以由一個素多項式構成，也可以由若干個素多項式組合而成。
BCH的碼長n一般是2m-1或是2m-1的因子，通常把碼長為2m-l的BCH碼稱為本原BCH碼，而把碼長為2m-1因子的BCH碼稱為非本原BCH碼。
1．2 BCH碼的組合特性
由BCH碼的定義可知，對于(n，k)的生成多項式g(x)，它的階數為m，則由g(x)產生的BCH碼的碼長n為2m-1或2m-1的因子。將這些生成多項式的階數等于m，碼長為n是2m-1或是2m-1的因子的素多項式放在同一組中，稱為同組BCH碼素多項式。對于同組的素多項式，將他們中的一個或者多個素多項式進行組合，可以得到組合BCH碼，即：

由同組的素多項式構成的組合BCH碼在碼長、信息位長度和階數等方面具有一些特殊的性質。組合BCH碼的最高項次數為：


2 組合BCH碼的類正交特性
2．1 互相關系數
在判斷一個矩陣的正交特性的時候，往往會用到互相關系數這個概念。
在一個矩陣中，設各個碼組的編碼長度為n，每個碼元只取+1和-1，x和y是該矩陣中的兩個碼組：

若碼組x和y正交，則必有ρ(x，y)=0；若碼組x和y不正交，則ρ(x，y)≠0，并且當碼組x和y的相關性越小時，它們的相關系數ρ(x，y)越小；當碼組本身與本身相乘時，有ρ(x，x)=1。