系統線性的兩個條件

1. 背景介紹

在信號與系統課程中，講解線性系統需要同時滿足兩個特性：?一是疊加性。?當兩個輸入信號x1、x2分別引起輸出y1、y2。?那么x1+x2所引起的系統輸出等于y1+y2；第二個特性是齊次性，?輸入信號x1引起系統的輸出為 y1。?對應a倍的x1引起系統輸出是a倍的y1。?這兩個特性需要分別進行驗證。

2. 相關舉例

關于系統的線性兩個條件，?在數學中的函數、映射中也有相應的討論。?疊加性和齊次性是相互獨立的兩個性質。?通常情況下， 舉例說明滿足其次關系的系統，不能滿足疊加性相對比較容易。?但是舉例說明滿足疊加性的系統，不能滿足齊次性相對困難。?這主要是常見到的工程應用中碰到的系統大體都是實數信號，而且滿足連續性。?在這種情況下，滿足疊加性的系統往往就能夠滿足齊次性。

根據維基百科中關于數學中線性的定義，?對于限定尺度數字a為有理數時，?疊加性意味著線性，并給出了簡要的證明。?對于連續函數，?可以將比例系數a放寬到實數范圍。?這是根據有理數在實數范圍內具有稠密特性來決定的。

One short-of-linear functon: Does f(x+y)=f(x)+f(y) imply f(ax)=af(x)?

Additivity and Homogeneity[1]

https://www.maa.org/sites/default/files/0746834255345.di020786.02p04776.pdf

Additive but not homogeneous continuous system?[2]

https://dsp.stackexchange.com/questions/19522/additive-but-not-homogeneous-continuous-system

Wikipedia article on linear system[3]

http://en.wikipedia.org/wiki/Linearity#In_mathematics

在這篇“課堂膠囊”網文中，作者總結本科數學教學經驗，給出了疊加性與齊次性的討論。并給出了一些反例。如果齊次性的比例系數放寬到復數，作者給出了一個最常見到的映射關系。比如T7，取輸入信號的實部，它滿足疊加性。如果尺度數字是復數的情況下，這個映射不滿足其次特性。

在這篇博文中對滿足疊加性是否預示著齊次性進行了討論。作者構造了一個實數域內的一個映射，滿足疊加性但不滿足齊次性。下面我們看一下這個例子。

定義在有理數向量空間的一個映射Q。對于每一有理數對（a,b），它們對應的一個實數a加上b倍的根號2。經過映射后等于有理數a+b，很容易驗證這個映射在向量空間Q中滿足疊加性。構造比例因子alpha，可以驗證在alpha尺度下，這個映射不滿足齊次性。

對于這個反例，作者也認為存在一定缺陷，比如這個比例因子不屬于原來向量空間Q，而是屬于向量空間Q，根號2。這個例子也說明，構建實數域內的反例不是太容易。

3. 總結

本文討論了信號與系統中的線性概念。?在數學概念中，線性系統需要同時滿足疊加性和齊次性。?但在實際常見到的連續時間系統中， 都是實數信號，且都滿足連續性。?所以只要滿足疊加性就可以了。