新的變步長LMS算法及DSP設計

Widrow和Hoff等人于1960年提出最小均方誤差(LMS)算法，由于其結構簡單，計算量小，穩定性好，易于實現等優點而得到廣泛的應用。LMS算法的缺點是收斂速度慢，它克服不了收斂速度和穩態誤差這一對固有矛盾：在收斂的前提下，如果步長取較大值，雖然收斂速度能得到提高，但穩態誤差會隨之增大，反之穩態誤差雖然降低但收斂速度就會變慢。為解決這一矛盾，人們提出了許多改進型自適應算法。其中很大一類是變步長LMS算法。文獻[4]提出Sigmoid函數變步長LMS算法(SVSLMS)。該算法在初始階段或未知系統的系數參數發生變化時，其步長較大，從而使該算法有較快的收斂速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號e(n)有多大，都保持很小的調整步長，從而獲得較小的穩態失調噪聲。但Sigmoid函數過于復雜，且在誤差e(n)接近零處變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVSLMS算法在自適應穩態階段仍有較大的步長變化；文獻[5]提出的算法引入了多個調整參數，因而步長因子不易設計和控制；文獻[6-8]提出了3種與誤差信號成非線性關系的步長設計方法，該類算法具有較好的收斂性能，但3種算法在計算步長因子時，都存在指數運算。在數字信號處理中，進行一次指數運算需要的計算量，相當于進行多次乘法運算的計算量。

因此這類算法在實現時，增大了計算復雜度。為克服上述變步長LMS自適應濾波器存在的不足，在此提出了一種新的變步長LMS自適應濾波算法，該算法具有良好的收斂性能，較快的收斂速度，較小的穩態誤差．良好的魯棒性，并且在求變步長因子時計算量較小。

1 新的變步長LMS算法分析

基本的固定步長LMS算法的迭代公式可以表述為：



式中：X(n)表示時刻n的輸入信號矢量；W(n)表示時刻n自適應濾波器的權系數；d(n)是期望輸出值；e(n)是誤差；μ是控制穩定性和收斂速度的參量(步長因子)。本文基于文獻[6，7]建立一個步長μ(n)和誤差e(n)的函數關系：反正切函數是一個關于自變量的增函數，且在零附近變化平緩，而且是一個有界函數，函數值不會發散。根據W(k+1)=W(k)=w*=最佳Wiener解，即2μ(n)e(n)X(n)=0并且0μ(n)1／λmax，即Oe(n)X(n)O=0，求得e(n)最小值。
根據上述討論，可將新算法的變步長μ(n)取為：

μ(n)=βαtan(αOe(n)X(n)O)

初始時刻Oe(n)X(n)O很大，由于反正切是一個自變量的增函數，所以μ(n)較大；隨著算法不斷地向穩態趨近，Oe(n)X(n)O不斷減小，μ(n)也隨之不斷減小；當達到穩態時，Oe(n)X(n)O很小，μ(n)也很小，此時的穩態失調誤差也很小。

由圖1可看出α越大，相同誤差水平時的步長也越大，但在誤差接近為零時步長變化越劇烈。圖2是β取不同值時的步長變化曲線，可以看出隨著β的減小步長也在減小。



2 仿真及結果分析

下面通過計算機仿真來驗證算法的收斂性能。仿真條件為：自適應濾波器的階數為L=2；未知系統的FIR系數為W=[0，0]^T；參考輸入信號x(n)是零均值，方差為1的高斯白噪聲；v(n)為與x(n)不相關的高斯白噪聲。分別做200次獨立的仿真，采樣點數為1 000，然后求其統計平均，得出學習曲線。

圖3是α固定，不同β值對應的收斂曲線。隨著β值的增大，算法的收斂速度逐漸加快。圖4是β保持不變，不同α值對應的收斂曲線，隨著α逐漸減小，算法的誤差也隨之減小，但達到穩態的時間逐漸增加。

文獻[7]提出了一種改進的變步長LMS算法，其步長變化為e(n)X(n)的函數：

μ(n)=β[1-exp(-αOe(n)x(n)O²)]

該算法取α=15，β=0.3。圖5是在第500個采樣點時刻未知系統發生時變，系數矢量變為W=[0.2，0.5]^T時本文算法與文獻[7]算法的比較，分別做500次獨立的仿真，然后求其統計平均，得出學習曲線。可以看出本文所述算法具有更快的收斂速度，更快地回到穩態，說明此算法具有更好的魯棒性，并且計算量更小。