工程師必須掌握的采樣定理與過采樣率

數字世界是現實世界的鏡像，模數轉換器ADC則是連接這兩個世界的大門。采樣速率是ADC重要參數之一，圍繞采樣速率，有一條著名的定理：奈奎斯特采樣定理。

采樣定理：

只要采樣頻率大于或等于有效信號最高頻率的兩倍，采樣值就可以包含原始信號的所有信息，被采樣的信號就可以不失真地還原成原始信號。

采樣定理是美國電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。

為方便介紹，我們統稱之為采樣定理。

在詳細介紹采樣定理之前，我們一定要知道一個非常有趣的頻率現象：'任何模擬信號，在離散化后，在頻率上都會按照采樣率周期性延拓。'

先拋個問題：

我們以fs=100Hz的采樣率，采集一段模擬信號，得到了100個采樣點，我們能夠重構出原始的模擬信號，得到模擬信號的頻率信息嗎？

理論來講是不可能的，模擬信號一旦經過采樣離散化后，其波形就已經失真了，我們永遠無法完美的重構原始模擬信號。

其中一個重要原因是，我們無法區分離散后信號的頻率信息。

我們從時域和頻域兩個方向分別理解：'我們無法區分離散后信號的頻率信息'這句話的意義。

時域解釋

下圖藍色點是采集后的一段離散序列，我們無法知道采樣的原始信號是紅色曲線還是藍色點直連重構的曲線。

通常情況下，我們重構采集后的離散點方法是直接連接相鄰采樣點。

基于這樣的方法，我們直接重構后的最低頻率為fa，而理論上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信號（n為≥0的整數，fa為原始信號頻率，fs為采樣頻率）。

比如一段頻率為fa=10Hz的模擬信號，經過采樣頻率fs=100Hz后，離散后的信號可以重構為10Hz、110Hz、210Hz。。。。。這個特性就是信號頻率的模糊性。

頻域解釋

一段頻率為帶限為fa的模擬信號，經過采樣頻率fs采樣后，其在頻譜上的波形會按照fs周期性復現，波形見下圖。

這是一個非常有趣的現象，可以看到時域的結果和頻域的分析是統一的。

而這里面就隱含著著名的采樣定理。

同樣的，我們從時域和頻域分別看下采樣定理的理解。

時域分析

在時域的角度下，當一個周期采集點數少于2個時，我們直連采樣點重構信號，則頻率就錯了；而當一個周期采集兩個采樣點時，采用直連的重構方式，我們起碼可以得到原始信號的頻率信息。

頻域解釋

如下圖所示，當fs<2fa時，周期性復現的帶限信號，會有紅色重疊的地方，這會導致我們失去原始帶限信號的基本頻率信息，俗稱頻譜混疊。

如上就可以提煉出采樣定理的基本要義了。

采樣定理與過采樣率

上文中的fa是信號的帶限（信號的最大頻率范圍），2*fa是采樣定理的基本要求；M*2*fa中，M就是過采樣率，過采樣率是對'采樣定理的最低采樣頻率'而言的。

過采樣率M每提高4倍，可以讓ADC分辨率B提高1bit。舉例如下：

過采樣率分別為4、16、64，ADC分辨率B分別會提高1、2、3bit。這個后面會繼續深入介紹。