如何利用新型微分器處理離散時域信號

    在連續信號領域，微分的概念定義明確，而在離散域并非如此。然而，好在我們可以近似計算離散信號的微分。(DSP純化論者更喜歡使用“數字差分器”這一術語，我們還是使用“微分器”)。

離散時域信號">

    要理解微分的概念，可以考慮式(1)的連續正弦波，其頻率為rad./s。

    該正弦波的導數為：

    因此，正弦波的導數為幅度正比于原始x(t)正弦波頻率的余弦波。根據式(2)，理想微分器的頻率幅度響應隨頻率ω的增加而直線增加。考慮到這一點，對下面兩個普通離散時間FIR(非遞歸)微分器，一個是一階差分器，另一個是一個中心差分器。它們都是估算數字x(n)時域信號序列導數的簡單計算方法。

    一階差分器簡單計算連續x(n)信號采樣的差，在時域里定義為：

    該微分器的頻率幅度響應為如圖1中的虛線|H_fd(ω)|。作為比較，圖1也示出了一個理想微分器直線|H_idea(ω)|=幅度響應曲線。圖中的頻率軸包括正頻率范圍0≤ω≤π采樣/弧度，對應0~f_s/2周期的頻率范圍，其中f_s為x(n)采樣率，單位為赫茲。

    式3簡潔，但缺點是其|H_fd(ω)|會將高頻噪聲放大，常對真實信號造成干擾。因此，實際上經常使用中間差分微分器。中間差分微分器的時域表達式為：

    中間差分微分器的頻率幅度響應為圖1中的點線|H_cd(ω)|。|H_cd(ω)|的理想高頻(噪聲)衰減受到限制，其線性工作頻率范圍為僅從0到約0.16 π采樣/弧度(0.08f_s Hz)之間。遺憾的是，該范圍小于一階微分器的線性工作頻率范圍。

    上面已經提到，本設計指南介紹一種第三選擇，為一個高效計算微分器，它保持了中間差分微分器的高頻衰減性能優點，同時擴展了其線性工作頻率范圍。該微分器定義為：

    該新穎的微分器的歸一化頻率幅度響應為圖1中的實|H_dif(ω)|線，其線性工作頻率范圍為從0~約0.34π采樣/弧度(0.17f_s Hz)，為中間差分微分器可用頻率范圍的兩倍。

    該微分器的實現如圖2所示，其中一個延遲塊包含兩個單位延遲。該微分器的折疊FIR結構如圖3所示，表示出了對每個y_dif(n)輸出采樣，只需進行一次倍乘。y_dif(n)微分器的真正靈活性是其非單位系數(