用DSP實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器

　　FIR濾波器具有幅度特性可隨意設(shè)計(jì)、線性相位特性可嚴(yán)格精確保證等優(yōu)點(diǎn)，因此在要求相位線性信道的現(xiàn)代電子系統(tǒng)，如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中，具有很大吸引力。本文簡(jiǎn)單介紹了其線性相位條件和設(shè)計(jì)方法，并且提供了一種用DSP實(shí)現(xiàn)的方法。

　　一、 引　言

　　在許多信息處理過程中，如對(duì)信號(hào)的過濾、檢測(cè)、預(yù)測(cè)等，都要廣泛地用到濾波器，而數(shù)字濾波器則因其設(shè)計(jì)靈活、實(shí)現(xiàn)方便等特點(diǎn)而廣為接受。

　　所謂數(shù)字濾波器就是具有某種選擇性的器件、網(wǎng)絡(luò)或以計(jì)算機(jī)硬件支持的計(jì)算程序。其功能本質(zhì)是按事先設(shè)計(jì)好的程序，將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，從而改變信號(hào)的形式和內(nèi)容，達(dá)到對(duì)信號(hào)加工或?yàn)V波以符合技術(shù)指標(biāo)的要求。

　　二、 數(shù)字濾波器的兩種類型

　　對(duì)于一般的數(shù)字濾波器，按照單位沖激響應(yīng)可分為無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)IIR(Infinite Impulse Response)系統(tǒng)和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)FIR(Finite Impulse Response)系統(tǒng)。

　　在IIR系統(tǒng)中，用有理分式表示的系統(tǒng)函數(shù)來逼近所需要的頻率響應(yīng)，即其單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長(zhǎng)的;而在FIR系統(tǒng)中，則用一個(gè)有理多項(xiàng)式表示的系統(tǒng)函數(shù)去逼近所需要的頻率響應(yīng)，即其單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零。

　　IIR濾波器由于吸收了模擬濾波器的結(jié)果，有大量的圖表可查，可以方便、簡(jiǎn)單、有效地完成設(shè)計(jì)，效果很好，但是其相位特性不好控制，必須用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行復(fù)雜的相位較正，才能實(shí)現(xiàn)線性相位特性的要求。

　　FIR濾波器則可在幅度特性隨意設(shè)計(jì)的同時(shí)，保證精確、嚴(yán)格的線性相位特性。這在要求相位線性信道的現(xiàn)代電子系統(tǒng)，如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中，是具有很大吸引力的。而且，其單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，不存在不穩(wěn)定的因素，并且可用因果系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。

　　下面著重討論具有線性相位特性的FIR濾波器。

　　三、 FIR濾波器線性相位特性的條件及設(shè)計(jì)方法

　　1.線性相位條件

　　為保證濾波器帶內(nèi)輸出信號(hào)的形狀保持不變，常常要求濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的頻率響應(yīng)H(ejω)應(yīng)具有線性的相頻特性，即H(ejω)=H(ω)e-jωk，其中H(ω)為幅頻特性，k為正整數(shù)。由傅氏變換的特性可知，線性相位濾波器只是將信號(hào)在時(shí)域上延遲了k個(gè)采樣點(diǎn)，因此不會(huì)改變輸入信號(hào)的形狀。

　　可以證明，如果濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，且滿足：偶對(duì)稱即h(n)=h(N-1-n)或奇對(duì)稱h(n)=-h(N-1-n)時(shí)，則其相頻特性一定是線性的。

　　2.設(shè)計(jì)方法

　　(1) 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

　　從時(shí)域出發(fā)，把理想的無限長(zhǎng)的hd(n)用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長(zhǎng)的h(n)，以此h(n)來逼近hd(n)，從而使所得到的頻率響應(yīng)H(ejω)與所要求的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)相接近。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是截止頻率不易控制。

　　(2) 頻率抽樣設(shè)計(jì)法

　　從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)加以等間隔抽樣，所得到的H(k)作逆離散傅氏變換，從而求得h(n) ，并用與之相對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)H(ejω)去逼近理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)。優(yōu)點(diǎn)是直接在頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，便于優(yōu)化，缺點(diǎn)是截止頻率不能自由取值。

　　(3) 等波紋逼近計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

　　前面兩種方法雖然在頻率取樣點(diǎn)上的誤差非常小，但在非取樣點(diǎn)處的誤差沿頻率軸不是均勻分布的，而且截止頻率的選擇還受到了不必要的限制。因此又由切比雪夫理論提出了等波紋逼近計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。它不但能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶的邊緣，而且還在一定意義上實(shí)現(xiàn)對(duì)所期望的頻率響應(yīng)實(shí)行最佳逼近。

　　四、 FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)

　　不論是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法，還是頻率抽樣設(shè)計(jì)法，都要求出濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)，然后才能在時(shí)域中實(shí)現(xiàn)頻域中的濾波。

　　1.濾波系統(tǒng)的差分方程

　　在頻域，當(dāng)其輸入信號(hào)為X(ejω)時(shí)，如濾波器的頻率響應(yīng)為H(ejω)，則其輸出信號(hào)為Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)。

　　在時(shí)域，設(shè)濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一N點(diǎn)序列，即0≤n≤N-1時(shí)h(n)的值不為零，根據(jù)離散傅氏變換的性質(zhì)，則可以將濾波器的輸入序列x(n)的響應(yīng)y(n)表示為x(n)與h(n)的卷積和，即：

　　這就是濾波系統(tǒng)的差分方程，它給濾波器的實(shí)現(xiàn)奠定了理論基礎(chǔ)。即求出時(shí)域的h(n)后，便可通過卷積來實(shí)現(xiàn)頻域的濾波。