如何利用通信系統(tǒng)測(cè)試中的高斯噪聲

噪聲發(fā)生器是測(cè)量通信系統(tǒng)性能的有力工具。它允許操作者在參考信號(hào)上加入一個(gè)大小可控的熱噪聲，從而確定噪聲對(duì)系統(tǒng)性能(例如比特錯(cuò)誤率BER)的影響。熱噪聲遵循高斯概率密度分布(PDF)，易于從理論分析走向?qū)嶋H應(yīng)用。在多數(shù)情況下，噪聲發(fā)生器的輸出與實(shí)際的(數(shù)學(xué)意義上的)高斯噪聲很接近，適用于性能分析和測(cè)試應(yīng)用。本文接下來(lái)的部分解釋了如何利用測(cè)試中的高斯噪聲，以及非理想的高斯噪聲對(duì)測(cè)試結(jié)果有何影響。

系統(tǒng)中信號(hào)能量與噪聲的比值通常記做E_b/N_o(或是C/N、C/N_o、SNR)，表示信號(hào)強(qiáng)度與噪聲強(qiáng)度大小的比率，是衡量通信信道性能的重要參數(shù)。利用加性高斯白噪聲計(jì)算信噪比的方法已經(jīng)非常成熟，并被廣泛地應(yīng)用于各種主要的通信標(biāo)準(zhǔn)中(例如MIL-188-165a and ATSC A80)。

白噪聲在頻譜中所有頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度都是相同的，是系統(tǒng)性能測(cè)試中噪聲源的理想選擇。噪聲的概率密度為高斯分布的原因是實(shí)際的隨機(jī)信號(hào)都遵循高斯分布，或者說(shuō)正態(tài)分布的。大多數(shù)通信信道中的噪聲(如放大電路引入的噪聲)都是熱噪聲，往往傾向于高斯分布。而且，中心極限定理證明了如果數(shù)量足夠多的隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生，不管單個(gè)事件服從何種分布(均勻分布，高斯分布或其它)，其總和的極限值趨于無(wú)窮大并為高斯分布。

高斯分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

上式給出了一個(gè)均值為?，方差為Σ²的變量x的概率分布函數(shù)。數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家一般稱之為正態(tài)分布，心理學(xué)家稱為貝爾曲線，而物理學(xué)家和工程師則稱為高斯分布。該函數(shù)從數(shù)學(xué)上描述了高斯噪聲的大小圍繞其均值上下波動(dòng)的特征(圖1)。

利用噪聲來(lái)測(cè)量系統(tǒng)性能有多種方法，其中一種是在待測(cè)信道中加入噪聲并不斷提高強(qiáng)度，使得信號(hào)質(zhì)量下降直至無(wú)法檢出為止。舉例來(lái)說(shuō)，可以在電視圖像中加入“雪花”作為信號(hào)噪聲。導(dǎo)致信道信號(hào)質(zhì)量下降的噪聲強(qiáng)度大小可以用來(lái)評(píng)估信號(hào)處理技術(shù)的能力和效率。

如果需要更加量化的分析，有一種方法是把系統(tǒng)容量分為疊加了噪聲的信號(hào)和沒(méi)有噪聲的信號(hào)兩部分。沒(méi)有噪聲的信號(hào)更加容易分解(圖2)，比如用電壓V₀的信號(hào)代表數(shù)字比特0，電壓V₁的信號(hào)代表數(shù)字比特1。在實(shí)際的電子系統(tǒng)中信號(hào)上總是存在噪聲，這時(shí)信號(hào)幅度就會(huì)圍繞V₁ 或V₀上下隨機(jī)波動(dòng)，其概率密度服從1式給出的高斯分布。

如果上述兩個(gè)信號(hào)相隔很遠(yuǎn)沒(méi)有相互交迭的話，把他們區(qū)分開(kāi)不會(huì)有什么問(wèn)題。然而高斯噪聲的存在使得信號(hào)之間總會(huì)有或多或少的交迭(圖3)，此時(shí)該如何區(qū)分它們呢？

解決辦法是在二者之間設(shè)定一個(gè)門限值(V₁--V₀)/2，該值小于V₁大于V₀，如果檢測(cè)到的信號(hào)電壓高于該門限則判為1，否則判為0。如果比特0的信號(hào)噪聲足夠大，超出了門限值，會(huì)發(fā)生什么情況？在判決算法給定的情況下，0會(huì)被誤判為1，這時(shí)就產(chǎn)生了比特誤碼。

一定數(shù)量的差錯(cuò)是無(wú)法避免的，因此有必要為比特誤碼確定測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量問(wèn)題的嚴(yán)重程度。計(jì)算以下情況出現(xiàn)的概率是可能的：傳送0時(shí)由于噪聲的存在使得信號(hào)電平超過(guò)了門限值，或者傳送1時(shí)噪聲與信號(hào)相抵使得信號(hào)電平降低到門限值以下。根據(jù)貝葉斯定理，這個(gè)概率可以表示為：

上式表明總的錯(cuò)誤概率等于0碼和1碼的錯(cuò)誤概率分別乘以它們的出現(xiàn)概率之和。在一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中只有1和0兩種信號(hào)，且1和0出現(xiàn)概率大致相同(1和0的出現(xiàn)可能各占一半)，這時(shí)2式可以改寫(xiě)為：

0碼的錯(cuò)誤概率由下式給出：

其中n表示疊加了噪聲的信號(hào)電壓。1碼的錯(cuò)誤概率為：

由于高斯分布的對(duì)稱性，高斯噪聲信道中根據(jù)上兩式計(jì)算得出的概率數(shù)值相等，可統(tǒng)一表示為：

上面的例子中系統(tǒng)的比特錯(cuò)誤率等于噪聲強(qiáng)度超過(guò)門限值的概率。高斯分布的統(tǒng)計(jì)特性給出了高斯變量x超過(guò)給定值a的概率：

其中erfc為互補(bǔ)誤差函數(shù)，erfc(x)= 1-erf(x)，erf為誤差函數(shù)。

誤差函數(shù)erf廣泛應(yīng)用于各種數(shù)據(jù)分析的場(chǎng)合，包括解描述半導(dǎo)體材料中雜質(zhì)分布的微分方程。該方程沒(méi)有解析解，但可以由麥克勞林級(jí)數(shù)求出近似解。由于其重要性，很多教科書(shū)中都列出了erf(x)的數(shù)值表，Microsoft Excel甚至把erfc作為其數(shù)據(jù)分析工具包Toolpak的一部分。

對(duì)應(yīng)上面的例子，門限值為(V₁– V₀)/2，噪聲電壓的統(tǒng)計(jì)參數(shù)為零均值、方差σ²= V_n²，其中V_n²是噪聲電壓的RMS值。因此7式可以表示為：

為了得出表示功率之比的E_b/N_o表達(dá)式，可以把8式變形為以電壓的平方來(lái)表示：

上式可以改由功率表示：

其中N_o代表噪聲功率密度。由于每比特功率E_b等于兩信號(hào)功率的平均，上式還可以改寫(xiě)為：

至此我們推導(dǎo)出了二進(jìn)制移相鍵控(BPSK)信道中誤碼率的常用公式。同樣的推導(dǎo)方法應(yīng)用于四進(jìn)制移相鍵控(QPSK)和正交QPSK(OQPSK)信道可以得出相同的結(jié)果，對(duì)于其它調(diào)制機(jī)制只需把11式稍加變形即可。對(duì)這些調(diào)制方式的詳細(xì)的推導(dǎo)超出了本文的范圍，但是它很好地解釋了該公式(以及利用它得出的“瀑布曲線”)是來(lái)源于高斯PDF的內(nèi)在特性。