單片機開平方的快速算法

因為工作的需要，要在單片機上實現開根號的操作。目前開平方的方法大部分是用牛頓
迭代法。我在查了一些資料以后找到了一個比牛頓迭代法更加快速的方法。不敢獨享，介
紹給大家，希望會有些幫助。

1.原理
因為排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個序列，
其中[x]為下標。

假設：
B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。
設 m 已知,因為 pow(2, m-1) = M = pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) = N =
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數，設m=2*k+1,
那么 pow(2,k) = N pow(2, 1/2+k) pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數，設m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
余數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來確定。
因為b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比較余數M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種
比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其余低位不做比較。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效，b[n-2] =
1；
余數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效，b[n-2] =
0；余數 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計算32位數的平方根時最多只須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低于牛頓迭代法。

2. 流程圖
(制作中，稍候再上)

3. 實現代碼
這里給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。



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/****************************************/
/*Function: 開根號處理*/
/*入口參數：被開方數，長整型*/
/*出口參數：開方結果，整型*/
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp;// 結果、循環計數
if (M == 0)// 被開方數，開方結果也為0
return 0;

N = 0;

tmp = (M >> 30);// 獲取最高位：B[m-1]
M = 2;
if (tmp > 1)// 最高位為1
{
N ++;// 結果當前位為1，否則為默認的0
tmp -= N;
}

for (i=15; i>0; i--)// 求剩余的15位
{
N = 1;// 左移一位

tmp = 2;
tmp += (M >> 30);// 假設

ttp = N;
ttp = (ttp1)+1;

M = 2;
if (tmp >= ttp)// 假設成立
{
tmp -= ttp;
N ++;
}

}

return N;
}