利用低功耗微控制器開發FFT應用

背景知識
為確定輸入信號采樣的頻譜，我們需要對這些輸入采樣進行離散傅立葉變換(dft)。dft的定義如下：

其中n是采樣的數量，x(k)是頻譜，x(n)是一組輸入采樣。利用歐拉等式展開求和符，并分離輸入采樣和頻譜的實部和虛部，得到以下等式：

式2和3中，求和符中第二項的消失是由于輸入采樣全部為實數。假定我們有n個采樣，直接計算式2和3需要2n2次乘法和2n(n - 1)次加法。這樣，我們的256點輸入采樣dft將需要進行131,072次乘法和130,560次加法運算。我們還是將注意力轉向fft吧！

有多種fft算法可供使用。本應用采用普通的radix-2算法，繼續將dft分解為兩個更小的dft。為此，n必須是2的指數。這種radix-2 fft算法的步驟可歸納如圖2所示的蝶型運算。觀察這些蝶型運算我們可以發現，radix-2算法僅需(n / 2)log2(n)次乘法和nlog2(n)次加法。圖2中用到的參數wn就是通常所謂的“旋轉因子”，可以在執行算法前預先計算出來。

在圖2中，fft的輸入顯示為一種特殊的排列順序，這種序列是對原始序列索引號的二進制位反轉后得到的。因此，當我們對n = 8個采樣執行radix-2 fft算法時，需要將輸入數據的原始序列：

0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)

重新排列為：

0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)

fft輸出則以正確的順序排列。圖2還說明，每個單獨的蝶型運算所得的結果，是下一級fft運算所需的唯一數據。由于運算過程可“即位”進行，新值可替代舊值，這樣，計算n個采樣的fft只需要2n個變量(因為每個數據都包括實部和虛部兩部分)。

fft完成后，結果為復數形式。式4和5將結果轉換為極坐標方式后表示為：

有關dsp的文獻中可以找到很多優化方法，可使上述dft/fft算法更小或更快。其中最重要的一種優化方法(可能也是最容易實現的)源于這樣一個事實，那就是作為一個實數信號，其dft幅度是相關于x(n / 2)對稱的，因此：

編寫fft代碼絕非易事。低功耗μc的一些局限又進一步使該任務復雜化。

存儲器：我們所選的μc有2kb的ram。已經知道該算法需要用到2n個16位變量來存儲fft數據，這樣，我們的μc可以執行n最高為512的fft。然而，固件的其他部分也要用到一些ram。因此，在此項目中，我們限制n于256。若采用16位變量來表示每個值的實部和虛部，fft數據總共需要1024字節的ram。

速度：低功耗μc盡管具有高mips/ma性能，仍然需要一些優化手段來使運行fft的指令數盡可能少。好在本應用所用的c編譯器(iar的embedded workbench for maxq，見www.iar.com)可提供多種級別的優化和設置。高效地使用硬件乘法器可使代碼優化到可以接受的水平。

無浮點能力：所選的μc不具備浮點能力(低功耗產品一般都不具備浮點能力)。因此，所有運算都必須采用定點算法。為了表示小數，固件采用帶符號的q8.7表示法。這樣，在固件中假定：

第0位至第6位代表小數部分
第7位至第14位代表整數部分
第15位代表符號位(二的補碼)
這樣的安排對于加法和減法沒有影響，但在做乘法時必須注意將數據按照q8.7格式對齊。

所選的數據表示法還要適應fft算法可能遇到的最大數值，同時又要提供足夠的精度。例如，我們的adc可提供帶符號的8位采樣，以二的補碼表示。如果輸入為最大幅度(對于帶符號8位采樣為127)的直流電壓，則其能譜全部包含于x(0)中，用q8.7表示為32512。這個數值能夠由單個帶符號的16位數據表示。

固件
以下部分討論在低功耗μc上執行radix-2 fft的固件實現。信號采樣由adc讀出后被存儲在x_n_re數組中。這個數組代表x(n)的實部。虛部存儲在x_n_im數組中，在開始運行fft前初始化為零。完成fft后，計算結果取代原始采樣數據，被存儲在x_n_re和x_n_im中。

獲取采樣
fft算法假定采樣是以固定的取樣頻率獲得的。在為fft獲取采樣時如果不加小心將會產生一些問題。例如，采樣間隔的抖動就會給fft結果引入誤差，應盡力減小之。
adc采樣循環中的判決語句會造成采樣間隔的抖動。例如，我們的系統從adc讀取帶符號的8位采樣，并將其存儲在一組16位變量中。在下面的程序清單1中給出了兩種偽碼算法，執行這種adc讀取-存儲功能。算法1給出的方法會造成采樣間隔的抖動，因為負采樣比正采樣需要更多的時間來讀取并存儲。

清單1. 兩種adc采樣偽碼算法。第二種算法避免了第一種的問題——采樣間隔抖動。

// algorithm 1: inconsistent sampling frequency - bad!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (n-1)
begin
doadcsampleconversion() // instruct adc to sample vin
sample[i] = read8bitsamplefromadc() // read 8-bit sample from adc

if (sample[i] & 0x0080) // if the 8-bit sample was negative
sample[i] = sample[i] + 0xff00 // make the 16-bit word negative
end

// algorithm 2: fixed sampling frequency - good!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (n-1)
begin
doadcsampleconversion() // instruct adc to sample vin
sample[i] = read8bitsamplefromadc() // read 8-bit sample from adc
end

for i = 0 to (n-1)
begin
if (sample[i] & 0x0080) // if the 8-bit sample was negative
sample[i] = sample[i] + 0xff00 // make the 16-bit word negative
end

三角函數表
本fft算法通過查表(lut)而非計算得到正弦或余弦函數值。程序清單2給出了對于正弦和余弦lut的申明。實際固件的注釋中包含了自動生成這些lut的源代碼，可由程序調用。兩個lut均含有n / 2分量，因為旋轉因子的索引號變化范圍為從0至n / 2 - 1 (見圖2)。
清單2. 正弦和余弦函數lut。

const int coslut[n/2] = {+128,+127,+127, ... ,-127,-127,-127};
const int sinlut[n/2] = {+0 ,+3 , +6, ... ,+9 , +6, +3};

這些lut中的數組被聲明為const，強制編譯器將它們存儲于代碼空間而非數據空間。由于lut數值須采用q8.7表示法，它們由正弦和余弦的實際值乘以27后得到。

位反轉
位反轉排序(n已知)可在運行時通過計算、查表或直接利用展開循環編寫。所有這些方法都需要在源代碼的尺寸和運行速度間進行折衷。本fft應用利用展開循環進行位反轉，其源代碼較長，但運行速度快。程序清單3顯示了該展開循環的實現。本應用固件的注釋中包含了用于程序自動生成展開循環的源代碼。
清單3. 用于實現n = 256的位反轉的展開循環。

i=x_n_re[ 1]; x_n_re[ 1]=x_n_re[128]; x_n_re[128]=i;
i=x_n_re[ 2]; x_n_re[ 2]=x_n_re[ 64]; x_n_re[ 64]=i;
i=x_n_re[ 3]; x_n_re[ 3]=x_n_re[192]; x_n_re[192]=i;
i=x_n_re[ 4]; x_n_re[ 4]=x_n_re[ 32]; x_n_re[ 32]=i;
...
i=x_n_re[207]; x_n_re[207]=x_n_re[243]; x_n_re[243]=i;
i=x_n_re[215]; x_n_re[215]=x_n_re[235]; x_n_re[235]=i;
i=x_n_re[223]; x_n_re[223]=x_n_re[251]; x_n_re[251]=i;
i=x_n_re[239]; x_n_re[239]=x_n_re[247]; x_n_re[247]=i;

radix-2 fft算法
采樣按照位反轉方式重新排序后就可進行fft運算了。本radix-2 fft應用的固件通過三個主循環執行圖2所示的蝶型運算。外循環計數log2(n)級fft運算。內循環執行每一級的蝶型運算。
fft算法的核心部分是執行蝶型運算的一小塊代碼。程序清單4給出了這一塊代碼，遺憾的是，它是本應用中唯一“不可移植”的固件。宏mul_1和mul_2利用μc的硬件乘法器執行單指令周期乘法運算。這些宏的內容專用于maxq2000，可在實際固件中全部看到。

清單4. 用c編寫的蝶型運算。

/* (1) macro mul_1(a,b,c): c=a*b (result in q8.7)*/
/* (2) macro mul_2(a,c) : c=a*last_b (result in q8.7)*/
mul_1(coslut[tf],x_n_re[b],resultmulrecos);
mul_2(sinlut[tf],resultmulresin);
mul_1(coslut[tf],x_n_im[b],resultmulimcos);
mul_2(sinlut[tf],resultmulimsin);

x_n_re[b] = x_n_re[a]-resultmulrecos+resultmulimsin;
x_n_im[b] = x_n_im[a]-resultmulresin-resultmulimcos;
x_n_re[a] = x_n_re[a]+resultmulrecos-resultmulimsin;
x_n_im[a] = x_n_im[a]+resultmulresin+resultmulimcos;

復數的極坐標轉換
為了便于確定vin頻譜的幅度，我們須要將復數形式的x(k)轉換為極坐標形式。實現該轉換的固件示于程序清單5。幅度值取代了原始的fft結果，因為固件不再需要這些數據。
清單5. fft結果從復數形式轉換為極坐標形式。

const unsigned char magnlut[16][16] =
{
{0x00,0x10,0x20, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
{0x10,0x16,0x23, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
...
{0xe0,0xe0,0xe2, ... ,0xff,0xff,0xff},
{0xf0,0xf0,0xf2, ... ,0xff,0xff,0xff}
};
...
...
/* compute x_n_re=abs(x_n_re) and x_n_im=abs(x_n_im) */
...
...
x_n_re[0] = magnlut[x_n_re[0]>>11][0];

for(i=1; i x_n_re[i] = magnlut[x_n_re[i]>>11][x_n_im[i]>>11];

x_n_re[n_div_2] = magnlut[x_n_re[n_div_2]>>11][0];

頻譜幅度并非根據式4計算得到，而是通過一個二維lut查表得到。第一索引為頻譜實部的高4位(msb)，第二索引為頻譜虛部的高4位。為得到這些數據，可將帶符號的16位數據右移11次。在從頻譜的實部和虛部取得索引號前，需首先將它們轉換為絕對值。因此，符號位為零。

從式6我們已經知道，頻譜的幅度是關于x(n / 2)對稱的，因此我們只需將前(n / 2) + 1個頻譜數據轉換為極坐標形式。還有，我們可以看到，對于實數輸入采樣，x(0)和x(n / 2)的虛部總為零。因此這兩條譜線的幅度被單獨計算。本項目實際固件的注釋中包含了用于自動生成該lut的源代碼，可由程序調用來計算x(k)的幅度。

hamming或hann窗
此項目固件還包括了對輸入采樣加hamming或hann窗的lut (q8.7格式)。加窗函數可有效降低對時域采樣x(n)的舍入操作所引起的頻譜泄漏。hamming和hann窗函數分別如式7和8所示。

程序清單6給出了實現這些函數的代碼。同樣，本項目實際固件的注釋中包含了用于自動生成這些lut的源代碼，可由程序調用來實現這些窗函數。

清單6. 用來實現hamming和hann窗函數的lut。

const char hamminglut[n] = {+10, +10, +10, ... ,+10, +10, +10};
const char hannlut[n] = { +0, +0, +0, ... , +0, +0, +0};
...
...
for(i=0; i<256; i++)
{
#ifdef windowing_hamming
mul_1(x_n_re[i],hamminglut[i],x_n_re[i]); // x(n)*=hamming(n);
#endif
#ifdef windowing_hann
mul_1(x_n_re[i],hannlut[i]),x_n_re[i]); // x(n)*=hann(n);
#endif
}

測試結果
為了測試該fft應用的性能，固件將x(k)幅度通過μc的uart端口上傳給pc。專門編寫的fft graph軟件(隨該項目固件一起提供)用于從pc串口讀取這些幅值，并以圖形方式實時顯示頻譜。圖3顯示了μc以200ksps采樣四種不同輸入信號并處理后，由fft graph所顯示出來的結果：
4.3v直流信號
50khz正弦信號
70khz正弦信號
6.25khz方波

接下來干什么？

有興趣的讀者還可以花費大量的時間來繼續優化和重新配置該fft應用。盡管在本文中我們選擇了radix-2算法，還有很多其他算法可以顯著降低加法和乘法運算量。很多本文所未提及的優化可以提升fft的速度。例如，作為純實數的輸入采樣，其虛部總為零，頻譜中只有前半部分有實際意義。利用這一點，第一級和最后一級fft的執行速度可進一步優化，但需要付出更多的程序空間。
總之，本文所討論的算法對于低功耗μc上的fft應用而言，提供了一個很好的出發點。如果想了解更多信息和具體實現的細節，請查閱我們為本應用所提供的、帶有詳細注釋的固件信息。