拉普拉斯反變換

利用拉普拉斯反變換的定義式（9-1-3），將象函數代入式中進行積分，即可求出相應的原函數，但往往求積分的運算并不簡單。下面介紹求反變換的一種校為簡便的方法。

設有理分式函數：

若m≥n，則可通過多項式除法得：

式中，整式的拉普拉斯反變換為：

是有理真分式，記為。對于電路問題，多數F(S)是有理真分式即n≥m情況。為求的拉普拉斯反變換，通常利用部分分式展開的方法，將之展開成簡單分式之和。簡單分式的反變換，可直接查表9-1-1直接獲得。

令，求出相應的幾個根，記作。根據所求根的不同類型，下面分三種情況進行討論。

一、當有幾個不相同的實數根時

按部分分式展開為：

式中，，……是對應于極點的留數。留數可由下面兩式求出，即：

（式9-3-1）

或：

（式9-3-2）

于是的反變換式為：

（式9-3-3）

例9-3-1：求的拉普拉斯反變換式。

解：的部分分式展開式為：

由（式9-3-1）：

同理可得：，

于是：

二、當包含有共軛復根時

設：

當是實系數多項式時，是復數，是的共軛復數。

例9-3-2 求的原函數。

解：

由（式9-3-1）：

的原函數為：