參數根軌跡和多回路系統的根軌跡

4.6.1 參數根軌跡

⒈引言

前面討論系統根軌跡的繪制方法時，都是以開環增益K為可變參數，這是在實際上最常見的情況。上述以開環增益K 為可變參量繪制的根軌跡稱為常規根軌跡。從理論上講，可變參量可以選擇為系統的任何參數，如開環零、極點，時間常數和反饋系數等，這種以K以外的系統其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱作參數根軌跡，又稱廣義根軌跡。用參數根軌跡可以分析系統中的各種參數，如開環零、極點，時間常數和反饋系數等對于系統性能的影響。

⒉思路和方法

如果選擇系統其他參量為可變參量時，引入等效傳遞函數的概念，即作一個變換，使得此可變參量在等效傳遞函數中相當于開環增益K的位置，則上面介紹的幅角、幅值條件和繪制根軌跡的各種規則都依然有效。

上述變換的方法是對系統的特征方程作一個除法，即以特征方程中不含有該參數項的各項去除該方程，便可得到 的形式，其中，就是要引入的等效傳遞函數。

例4-4 設反饋系統如圖4-16所示 ，試繪制以a為參變量的根軌跡。

⑴. 常規方法

⑴. 系統的開環傳遞函數為

系統的特征方程為

以不含a的項，即，除以上式得

得等效開環傳遞函數：

式中

據此,可用“常規方法”作出其根跡，如圖4-17所示（可證明，其部分根跡為園弧）。

①.根跡的起迄點及條數:
兩條根跡分支,分別起始于開環極點-1+j3、-1-j3,終止于開環零點0和s平面∞處。

②.實軸上的根跡：
負半實軸為根跡。

③.會合點：

由 。

④.復數極點-1+j3出射角：

⑵.“MATLAB”方法

①解本題的MATLAB程序exe44.m

% ks/(s2+2s+10)
n=[1 0]
d=[1 2 10]
rlocus(n,d)

②執行本程序,可得圖4-17參數根軌跡圖。

4.6.2 多回路系統的根軌跡

1.引言

前面介紹單環系統根跡，不僅適合單環，而且也適合多環系統。

2.思路和方法

先作內環根跡，再用幅值條件試探求出內環的閉環極點，進而作為外環的一部分開環極點，再畫出外環的根跡。

例4-5 設一雙環反饋系統，如圖4-18所示 。試繪制以 c為參變量的根軌跡。

⑴.常規方法

①.先作內環根跡:
內環開環傳遞函數為：

此與例4-1相同，這里不再重復。

②.求出 =1.06 時的內環閉環極點(用試探法):
由§4―3可知，為：-0.33+j0.58、 -0.33-j0.58、 -2.33

③.內環的閉環傳遞函數為：

④. 內環化簡后外環的開環的傳遞函數為：

⑤.外環（系統）根軌跡:

·根軌跡有四條分支：

分別自0, -2.33,-033+j0.58,0.33-j0.58。至-1,-3,和s平面∞處。

·實軸上根跡：

在 0 至-1,-2至-2.33,-3至-∞是根軌跡。

·根跡漸近線：

由公式求得σα=0.5,α=±90B 。

·復數極點-0.33+j0.58,外的出射角：

φ=8.06B 。

·根跡與虛軸交點：

·系統外環根跡:

如圖4-19所示.

⑵.“MATLAB”方法

①.解本題的MATLAB程序exe45.m:
% k(s+1)(s+3)/s(s+0.33+0.58i)(s+0.33-0.58i)(s+2.33)
z=[-1 –3]’;
p=[0 –2.33 –0.33+0.58i –0.33-0.58i]’;
k=1;
[n,d]=zp2tf(z,p,k);
rlocus(n,d)
title(‘4-19’)

②.執行本程序,可得外環根軌跡圖4-19。